Clcolare il valore approssimato di un numero con il teorema di Taylor
Ciao a tutti!!!!
mi sto cimentando con esercizi del tutto nuovi.......
devo calcolare il valore approssimato di $ root(5)e^2 $ con un errore inferiore a $1/1000$ utilizzando il teorema di taylor con il resto di Lagrange. Bene la formula è:
$ f(x)=sum_(k=0)^n (f^(k)(c))/(k!)(x-c)^k+(f^(n+1)(xi))/((n+1)!)(x-c)^(n+1) $
ora come si procede?! A quale ordine devo arrivare? me lo suggerisce il fatto che l'errore deve essere inferiore a $1/1000$?!
supponiamo che quello che ho scritto sia corretto.....
devo sviluppare fino all'ordine 4.
dubbio!!! la formula corretta è:
- $ f(x)=sum_(k=0)^3 (f^(k)(0))/(k!)(x)^k+(f^(4)(xi))/((4)!)(x)^(4) $ ??????
intanto butto giù qualcosa (sempre supponendo che quello che ho scritto prima è vero!):
$ e^(2/5)=1+2/5+(2/5)^2/(2!)+(2/5)^3/(3!)=1,4090 $
l'esercizio è concluso?!
grazie a tutti per l'aiuto!!
mi sto cimentando con esercizi del tutto nuovi.......
devo calcolare il valore approssimato di $ root(5)e^2 $ con un errore inferiore a $1/1000$ utilizzando il teorema di taylor con il resto di Lagrange. Bene la formula è:
$ f(x)=sum_(k=0)^n (f^(k)(c))/(k!)(x-c)^k+(f^(n+1)(xi))/((n+1)!)(x-c)^(n+1) $
ora come si procede?! A quale ordine devo arrivare? me lo suggerisce il fatto che l'errore deve essere inferiore a $1/1000$?!
supponiamo che quello che ho scritto sia corretto.....
devo sviluppare fino all'ordine 4.dubbio!!! la formula corretta è:
- $ f(x)=sum_(k=0)^3 (f^(k)(0))/(k!)(x)^k+(f^(4)(xi))/((4)!)(x)^(4) $ ??????
intanto butto giù qualcosa (sempre supponendo che quello che ho scritto prima è vero!):
$ e^(2/5)=1+2/5+(2/5)^2/(2!)+(2/5)^3/(3!)=1,4090 $
l'esercizio è concluso?!
grazie a tutti per l'aiuto!!
Risposte
Ciao!
Il procedimento è spiegato bene nelle ultime pagine del primo libro "elementi di analisi matematica I" di Marcellini Sbordone e viene chiamato "tabulazione di funzioni".
Devi calcolare il valore di $e^(2/5)$ con un errore inferiore a $1/1000$. Usi lo sviluppo di McLaurin, la formula che scrivi è ok.
Intanto puoi notare - alla larga, ma va bene - che $e<3$ e $e^(2/5)
$=\sum_(k=1)^n (2/5)^k \cdot (1/(k!)) + (e^(\xi))/((n+1)!)(2/5)^(n+1)$.
Dobbiamo trovare $n$ per cui $|R_(n+1)(x)|<1/1000$ dove $R_(n+1)(x)$ è il nostro resto.
Quindi
$|(e^(\xi))/((n+1)!)(2/5)^(n+1)|<1/1000$
Ora, per $\xi \in [0,2/5]$, $max_(\xi \in [0,2])(e^(\xi))=e^(2/5)<2$, ricordando che $e^x$ è monotona crescente e il massimo ce l'ha nell'estremo superiore dell'intervallo.
A questo punto abbiamo una stima per quella fastidiosa derivata $n+1$-esima possiamo porre questa nuova stima minore dell'errore
$|(e^(\xi))/((n+1)!)(2/5)^(n+1)|<|2/((n+1)!)(2/5)^(n+1)|<1/1000$.
Possiamo togliere i moduli perché è tutta roba positiva e otteniamo
$2/(n+1)! (2/5)^(n+1)= \frac{2^(n+2)}{5^(n+1)(n+1)!}<1/1000$
da cui, moltiplicando ambo i membri per $1000$, cioè per $2^3 \cdot 5^3$ abbiamo infine
$\frac{2^(n+5)}{5^(n-2) (n+1)!}<1$
che il nostro prof di analisi I diceva di risolvere a tentativi scorrendo $n$ fino a quando non riportava (
) e riporta $n=4$, cioè quello che cerchi...
EDIT
Facendo l'anteprima ho visto la risposta di TeM, decisamente migliore della mia. Ormai, però, ho scritto...!
Tra l'altro sapevo dell'esistenza di questo
viewtopic.php?f=36&t=125630
di quando il sottoscritto era laureato da poco e non rischiava di sparare farfalle come ora...
Il procedimento è spiegato bene nelle ultime pagine del primo libro "elementi di analisi matematica I" di Marcellini Sbordone e viene chiamato "tabulazione di funzioni".
Devi calcolare il valore di $e^(2/5)$ con un errore inferiore a $1/1000$. Usi lo sviluppo di McLaurin, la formula che scrivi è ok.
Intanto puoi notare - alla larga, ma va bene - che $e<3$ e $e^(2/5)
$=\sum_(k=1)^n (2/5)^k \cdot (1/(k!)) + (e^(\xi))/((n+1)!)(2/5)^(n+1)$.
Dobbiamo trovare $n$ per cui $|R_(n+1)(x)|<1/1000$ dove $R_(n+1)(x)$ è il nostro resto.
Quindi
$|(e^(\xi))/((n+1)!)(2/5)^(n+1)|<1/1000$
Ora, per $\xi \in [0,2/5]$, $max_(\xi \in [0,2])(e^(\xi))=e^(2/5)<2$, ricordando che $e^x$ è monotona crescente e il massimo ce l'ha nell'estremo superiore dell'intervallo.
A questo punto abbiamo una stima per quella fastidiosa derivata $n+1$-esima possiamo porre questa nuova stima minore dell'errore
$|(e^(\xi))/((n+1)!)(2/5)^(n+1)|<|2/((n+1)!)(2/5)^(n+1)|<1/1000$.
Possiamo togliere i moduli perché è tutta roba positiva e otteniamo
$2/(n+1)! (2/5)^(n+1)= \frac{2^(n+2)}{5^(n+1)(n+1)!}<1/1000$
da cui, moltiplicando ambo i membri per $1000$, cioè per $2^3 \cdot 5^3$ abbiamo infine
$\frac{2^(n+5)}{5^(n-2) (n+1)!}<1$
che il nostro prof di analisi I diceva di risolvere a tentativi scorrendo $n$ fino a quando non riportava (
) e riporta $n=4$, cioè quello che cerchi...EDIT
Facendo l'anteprima ho visto la risposta di TeM, decisamente migliore della mia. Ormai, però, ho scritto...!
Tra l'altro sapevo dell'esistenza di questo
viewtopic.php?f=36&t=125630
di quando il sottoscritto era laureato da poco e non rischiava di sparare farfalle come ora...
Stasera sinceramente non ho la forza 
....domani controllerò bene il procedimento dell'esercizio!!!
per il momento vi ringrazio tanto!!!!
....domani controllerò bene il procedimento dell'esercizio!!!per il momento vi ringrazio tanto!!!!
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