Classificazione singolarita con la serie di laurent

[faco1]

salve,
qualcuno conosce qualche link di qualche dispensa ke tratti questo argomento?
buona domenica

[faco1]

nessumo mi puo aitare ?
almeno qualcuno conosce la dimostrazione che dice che se $so$ e un polo di ordine m allora la serie di laurent partira dal temrime -m

[Sk_Anonymous]

E’ ovvio che il materiale didattico reperibile sul web sulla teoria delle funzioni di variabile complessa è sterminato e nella ‘giungla’ è difficile orientarsi. Se posso dare un consiglio suggerirei gli appunti di Boris Dubrovin, matematico russo che insegna all’Università di Trieste…

http://people.sissa.it/~dubrovin/lec.pdf

Il capitolo IV° è dedicato in sostanza alla serie di Laurent e particolarmente ben fatta mi pare sia la classificazione delle singolarità isolate di una funzione di variabile complessa…

cordiali saluti

lupo grigio




An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[faco1]

Io mi sono bloccato qui

Allora supponiamo che $zo$ sia un polo di ordine m quindi

$lim_{z->zo}f(z)=oo$

definiamo allore $F(z)$ =
$1/f(zo)$ se $0<|z-zo| 0 se $z=zo$
quindi F(z) e analitica,scegliendo un $delta>0$ abbastanza piccolo ha in zo una singolarita eliminaile

adesso come continuo

[faco1]

grazie mille lupo grigio

[Sk_Anonymous]

Ehm!... caro faco... mi pare che in quello che scrivi qualcosina stona un poco...

Se come dici tu, $f(z)$ ha in $zo$ sia un polo di ordine m e $lim_{z->zo}|f(z)|= oo$
allora $f(zo)$ non esiste e quello che scrivi dopo, ossia porre 'qualcosa' $= 1/f(zo)$, non ha significato...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[faco1]

Allora supponiamo che $zo$ sia un polo di ordine m quindi

$lim_{z->zo}f(z)=oo$

definiamo allore $F(z)$ =
$1/f(zo)$ se $0<|z-zo| 0 se $z=zo$
quindi F(z) e analitica,scegliendo un $delta>0$ abbastanza piccolo ha in zo una singolarita eliminaile

cois pensi che vada bene?

[Sk_Anonymous]

caro Faco
leggendo con più attenzione forse ho capito qual è il tuo problema. Allora tu stai dicendo che se una funzione $f(z)$ ha in $z=z_0$ un polo di ordine $m$, allora $g(z)=1/(f(z))$ è analitica in $z=z_0$. Se è così quello che stai dicendo è esatto in quanto nell’ipotesi da te fatta è possibile scrivere…

$(z-z_0)^m*f(z)= h(z)$ (1)

... dove $h(z)$ è una funzione analitica di grado $0$ in $z=z_0$. Per sua proprietà $h(z)$ è invertibile, ossia la funzione $hi(z)=1/(h(z))$ è anch’essa analitica di grado $0$ in $z=z_0$. Pertanto la funzione…

$g(z)=1/(f(z))= (z-z_0)^m*hi(z)$ (2)

… è analitica in $z=z_0$. Particolarità importante è che tutti i coefficienti $a_n$ dello sviluppo in serie di Taylor della $g(z)$ in $z=z_0$ sono nulli per $n
cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[faco1]

grazie mille lupo grigio