Classificazione singolarità
Esercizio d'esame: determinare le singolarità, classificarle e calcolarne i residui della seguente funzione.
$f(z) = sin(z)/(z(z^3-1)) + z^2e^(2/z)$
Sorvolando sull'ultima richiesta, volevo sapere se la mia soluzione è corretta.
Allora io ho innanzi tutto unito i due addendi:
$f(z) = (sen(z) + z^3(z^3-1)e^(2/z))/(z(z^3-1))$
Abbiamo quindi 4 singolarità:e
$z_1=0$
$z_2=1$
$z_3=e^((2pii)/3)$
$z_4=e^((4pii)/3)$
Per vedere di che tipo di singolarità stiamo parlando per quanto riguarda $z_1=0$, ho cercato lo sviluppo in serie di Laurent centrata in $z_1=0$:
ho preso lo sviluppo di Taylor dei due addendi dell'esercizio:
$z^2(e^(2/z)) = z^2sum_(n=0)^(+oo) ((2/z)^n*1/(n!)) = z^2sum_(n=0)^(+oo) (2^n*z^-n)/(n!) = sum_(n=0)^(+oo) (2^n*z^(2-n))/(n!)$
E cioè
$sum_(k=-oo)^(2) (2^(2-k)*z^(k))/((2-k)!)$
A questo punto, senza andare a sviluppare il primo addendo, direi che, dato che esistono un numero infinito di $k<0$ t.c. $ a_k!=0$ nello sviluppo in serie di Laurent, allora $z_1=0$ è una singolarità essenziale.
Gli altri $z_i$ mi vengono dei poli del primo ordine... che ne dite?
$f(z) = sin(z)/(z(z^3-1)) + z^2e^(2/z)$
Sorvolando sull'ultima richiesta, volevo sapere se la mia soluzione è corretta.
Allora io ho innanzi tutto unito i due addendi:
$f(z) = (sen(z) + z^3(z^3-1)e^(2/z))/(z(z^3-1))$
Abbiamo quindi 4 singolarità:e
$z_1=0$
$z_2=1$
$z_3=e^((2pii)/3)$
$z_4=e^((4pii)/3)$
Per vedere di che tipo di singolarità stiamo parlando per quanto riguarda $z_1=0$, ho cercato lo sviluppo in serie di Laurent centrata in $z_1=0$:
ho preso lo sviluppo di Taylor dei due addendi dell'esercizio:
$z^2(e^(2/z)) = z^2sum_(n=0)^(+oo) ((2/z)^n*1/(n!)) = z^2sum_(n=0)^(+oo) (2^n*z^-n)/(n!) = sum_(n=0)^(+oo) (2^n*z^(2-n))/(n!)$
E cioè
$sum_(k=-oo)^(2) (2^(2-k)*z^(k))/((2-k)!)$
A questo punto, senza andare a sviluppare il primo addendo, direi che, dato che esistono un numero infinito di $k<0$ t.c. $ a_k!=0$ nello sviluppo in serie di Laurent, allora $z_1=0$ è una singolarità essenziale.
Gli altri $z_i$ mi vengono dei poli del primo ordine... che ne dite?
Risposte
"Uomosenzasonno":
A questo punto, senza andare a sviluppare il primo addendo, ...
Se proprio non vuoi completare lo sviluppo, per essere più rigoroso, potresti almeno calcolare il seguente limite:
$lim_(z->0)sinz/(z(z^3-1))=-1$
In questo modo, escludi a priori che anche il primo addendo abbia una singolarità essenziale che, in linea teorica, potrebbe cancellare i termini relativi al secondo.
"speculor":
[quote="Uomosenzasonno"]
A questo punto, senza andare a sviluppare il primo addendo, ...
Se proprio non vuoi completare lo sviluppo, per essere più rigoroso, potresti almeno calcolare il seguente limite:
$lim_(z->0)sinz/(z(z^3-1))=-1$
In questo modo, escludi a priori che anche il primo addendo abbia una singolarità essenziale che, in linea teorica, potrebbe cancellare i termini relativi al secondo.[/quote]
Si, all'esame l'avrei sicuramente fatto. Mi basta però che abbia ragionato im maniera corretta.. grazie mille!!!
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