Classificazione punto critico - Hessiano nullo

[Morris0191]

Ciao ragazzi sto sudiando la funzione $f(x,y) = y^2 (x^2 - x - y)$ . Ponendo il gradiente uguale a 0, i miei punti critici sono: $(0,0)$ e $(1/2,-1/6)$. Nel primo caso l'Hessiano è nullo, nel secondo caso ottengo un punto di minimo relativo.
Il mio problema è l'Hessiano nullo, mi spiego meglio. Andando a studiare $\Delta$ $f = f(x,y) - f(x_0, y_0) > 0$ non capisco come faccio a stabilire il segno della funzione in un intorno del mio punto. So che per alcuni di voi è una cosa banale ma ci sto sbattendo la testa da due giorni, ringrazio tutti per il cortese aiuto!

[Sk_Anonymous]

Senza considerare l'asse delle ascisse, la funzione è positiva per $[x^2-x-y>0]$ e negativa per $[x^2-x-y<0]$. Inoltre, l'origine si trova proprio sulla parabola di equazione $[x^2-x-y=0]$. Si tratta di un punto di sella.

[Morris0191]

Ti ringrazio per la risposta. Quindi tutto quello che c'è all'"interno" della parabola è positivo mentre tutto quello che si trova all'"esterno" è negativo?

[Sk_Anonymous]

Certamente, senza considerare l'asse delle ascisse però. Lì la funzione è nulla.

[Morris0191]

Grazie infinite!