Classificazione Punto ad Hessiano nullo
$ f(x,y)= x(x-1)^2 +2xy^2 -x $
Il punto critico (0,0) è ad Hessiano nullo, quindi per classificarlo studio:
$ f(x,y)-f(0,0)>0 $
quindi
$ f(x,y)>0 $
Mi riduco ad una parabola, quindi:
$ f(x,x^2)>0 $
Da cui
$ x^2(3x-2)>0 $
Se x>0 è positiva
Se x<0 è negativa
Quindi (0,0) è un pt di Sella
E' corretto questo ragionamento?
Se (0,0) fosse stato un pt di max cosa avrei dovuto aspettarmi?
Il punto critico (0,0) è ad Hessiano nullo, quindi per classificarlo studio:
$ f(x,y)-f(0,0)>0 $
quindi
$ f(x,y)>0 $
Mi riduco ad una parabola, quindi:
$ f(x,x^2)>0 $
Da cui
$ x^2(3x-2)>0 $
Se x>0 è positiva
Se x<0 è negativa
Quindi (0,0) è un pt di Sella
E' corretto questo ragionamento?
Se (0,0) fosse stato un pt di max cosa avrei dovuto aspettarmi?
Risposte
"diavolofurioso":
$ f(x,y)= x(x-1)^2 +2xy^2 -x $
Il punto critico (0,0) è ad Hessiano nullo, quindi per classificarlo studio:
$ f(x,y)-f(0,0)>0 $
quindi
$ f(x,y)>0 $
Sono d'accordo, se la funzione vale 0 nel punto critico lo studio del segno non può che aiutarci.
"diavolofurioso":
Mi riduco ad una parabola, quindi:
$ f(x,x^2)>0 $
Perché una parabola?
"diavolofurioso":
Da cui
$ x^2(3x-2)>0 $
Se x>0 è positiva
Se x<0 è negativa
non sono d'accordo, risolvendo quella disequazione trovo che $x^2$ è sempre positiva, tranne nel caso di $x=0$, di conseguenza devo vedere quando è negativo o positivo l'altro fattore $(3x-2)$, quindi lungo la parabola abbiamo per $x>2/3$ valori positivi, per $0
"diavolofurioso":
Quindi (0,0) è un pt di Sella
E' corretto questo ragionamento?
Non mi convince granché, riprova
"diavolofurioso":
Se (0,0) fosse stato un pt di max cosa avrei dovuto aspettarmi?
Che lì intorno all'origine la funzione assumesse valori tutti negativi.
Avevo sbagliato i conti..
Ma Il problema è che non mi vengono altre strade da percorrere..
Ma volendo attenermi a questo procedimento (ammesso che sia corretto) posso concludere che si tratta di un punto di massimo? Perchè esiste un intorno dell'origine in cui la funzione assume valori positivi.
Ma Il problema è che non mi vengono altre strade da percorrere..
Ma volendo attenermi a questo procedimento (ammesso che sia corretto) posso concludere che si tratta di un punto di massimo? Perchè esiste un intorno dell'origine in cui la funzione assume valori positivi.
Riprovo col metodo del segno
$ f(x,y)-0>0 $
quindi
$ x(x^2 -2x+ 2y^2)>0 $
Giunto qui non so come risolvere..
Se ci fosse un massimo o un minimo dovrebbe esistere un intorno in cui la funzione è sempre positiva o sempre negativa, viceversa se ci fosse un pt sella non riuscirei a trovare questo intorno. Ma ho difficoltà a studiare il segno di questa disequazione..
$ f(x,y)-0>0 $
quindi
$ x(x^2 -2x+ 2y^2)>0 $
Giunto qui non so come risolvere..
Se ci fosse un massimo o un minimo dovrebbe esistere un intorno in cui la funzione è sempre positiva o sempre negativa, viceversa se ci fosse un pt sella non riuscirei a trovare questo intorno. Ma ho difficoltà a studiare il segno di questa disequazione..
Ora ci siamo
per quanto riguarda la nostra funzione vediamo di guardarla in questo modo
$f(x;y)=x(x-1)^2+2xy^2-x=x[(x-1)^2+2y^2-1]$
osserviamo che si tratta del prodotto tra $x$ e $(x-1)^2+2y^2-1$
il primo termine è positivo nel I e IV quadrante, negativo negli altri due, nullo lungo l'asse y
ora non ci resta che vedere dove è positivo $(x-1)^2+2y^2-1$, cioè $(x-1)^2+2y^2-1>0$ da cui $(x-1)^2+2y^2>1$ e ancora
$(x-1)^2+y^2/(1/2)>1$, ti è venuta qualche idea?
per quanto riguarda la nostra funzione vediamo di guardarla in questo modo
$f(x;y)=x(x-1)^2+2xy^2-x=x[(x-1)^2+2y^2-1]$
osserviamo che si tratta del prodotto tra $x$ e $(x-1)^2+2y^2-1$
il primo termine è positivo nel I e IV quadrante, negativo negli altri due, nullo lungo l'asse y
ora non ci resta che vedere dove è positivo $(x-1)^2+2y^2-1$, cioè $(x-1)^2+2y^2-1>0$ da cui $(x-1)^2+2y^2>1$ e ancora
$(x-1)^2+y^2/(1/2)>1$, ti è venuta qualche idea?
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