Classificazione punti stazionari funzione due variabili
Ciao a tutti e Buon Natale.
Sono alle prese con lo studio dei punti stazionari di una funzione a due variabili (tema esame analisi 2)
Testo: Determinare e classificare i punti stazionari della funzione $ f:R-R^2 $ data da
$ f(x,y)=x+senx+7y^2 -pi $
Per prima cosa ho calcolato le derivate:
$ { ( (partial)/(partialx)=1+cosx ),( (partial)/(partialy)=14y):} $
In seguito ho calcolato il gradiente che mi ha dato come risultato il punto stazionario: $ ((2k+1)pi,0) $
Vado quindi a calcolare le derivate parziali miste:
$ { ( (partial)/(partialx^2)=-senx ),( (partial)/(partialy^2)=14),( (partial)/(partialxy)=0),( (partial)/(partialyx)=0):} $
Metto il tutto nella matrice hessiana calcolata nel punto $ (pi,0) $
$ (pi,0)| ( -senx , 0 ),( 0 , 14 ) | $
Il test risulta inefficace.. quindi non posso concludere nulla sulla classificazione del punto stazionario. Come posso fare per classificarlo? Ho pensato anche di studiare il segno della funziona, ma in questo caso non è molto semplice.
Grazie
Ciaoo!
Sono alle prese con lo studio dei punti stazionari di una funzione a due variabili (tema esame analisi 2)
Testo: Determinare e classificare i punti stazionari della funzione $ f:R-R^2 $ data da
$ f(x,y)=x+senx+7y^2 -pi $
Per prima cosa ho calcolato le derivate:
$ { ( (partial)/(partialx)=1+cosx ),( (partial)/(partialy)=14y):} $
In seguito ho calcolato il gradiente che mi ha dato come risultato il punto stazionario: $ ((2k+1)pi,0) $
Vado quindi a calcolare le derivate parziali miste:
$ { ( (partial)/(partialx^2)=-senx ),( (partial)/(partialy^2)=14),( (partial)/(partialxy)=0),( (partial)/(partialyx)=0):} $
Metto il tutto nella matrice hessiana calcolata nel punto $ (pi,0) $
$ (pi,0)| ( -senx , 0 ),( 0 , 14 ) | $
Il test risulta inefficace.. quindi non posso concludere nulla sulla classificazione del punto stazionario. Come posso fare per classificarlo? Ho pensato anche di studiare il segno della funziona, ma in questo caso non è molto semplice.
Grazie
Ciaoo!
Risposte
mmm guarda io ho provato a ragionare cosi, studiamo la funzione in un intorno di \(\displaystyle \Pi,0 \) quindi ho calcolato il la funzione in \(\displaystyle x+\alpha \) e in \(\displaystyle x-\alpha \) con \(\displaystyle \alpha \) che tende a 0. la funzione è in tutti e due i casi uguale a \(\displaystyle \7y^2 \) che in y=0 ha un punto di minimo, quindi il punto trovato è un minimo
p.s buon natale anche a te
Ciao!
Grazie per la risposta. Purtroppo i punti (parlo al plurale dato che si ripetono ogni $2kpi$) sono tutti punti di sella
Ciaoo
Grazie per la risposta. Purtroppo i punti (parlo al plurale dato che si ripetono ogni $2kpi$) sono tutti punti di sella
Ciaoo
Ciao,
a me piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, sembra un "paesaggio", voglio provare con la tua
Inizio pensando solo a $f(x;y)=x$ e vedo un bel piano inclinato di 45° rispetto al piano xy, l'intersezione tra i due piani è l'asse y. Poi aggiungo $senx$, e immagino $f(x;y)=x + senx$ ecco che il mio piano comincia a incresparsi come quella carta colorata che si usa alle feste in maschera per confezionare abiti improvvisati, le curve di livello sono sempre rette parallele all'asse y, ma l'andamento è ondulato, per avere una idea più precisa di ciò che capita studio la seguente funzione $f(x)=x+senx$, mi accorgo che è sempre non decrescente e incontro punti di flesso orizzontale in corrispondenza di $x=pi+2kpi$ (multipli dispari di $pi$).Ora aggiungo $7y^2$, ma questa è una stretta valle con asse coincidente con l'asse x, alza sempre di più la mia funzione quando mi allontano dall'asse x, ma non influisce sulla forma del grafico in corrispondenza dell'asse x. Infine tolgo $pi$ e tutto mi si sposta in giù di quella quantità: in corrispondenza dell'origine non mi trovo più a quota 0, ma a quota $-pi$.
I punti stazionari di coordinate $(pi+2kpi;0)$ li descriverei così: muovendomi perpendicolarmente all'asse x, ho un minimo, muovendomi parallelamente all'asse x ho un flesso orizzontale... non so se si chiama sella, ma potrei aver sbagliato io tutto.
Tu che ne pensi?
a me piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, sembra un "paesaggio", voglio provare con la tua
"floppyes":
Testo: Determinare e classificare i punti stazionari della funzione $ f:R-R^2 $ data da
$ f(x,y)=x+senx+7y^2 -pi $
Inizio pensando solo a $f(x;y)=x$ e vedo un bel piano inclinato di 45° rispetto al piano xy, l'intersezione tra i due piani è l'asse y. Poi aggiungo $senx$, e immagino $f(x;y)=x + senx$ ecco che il mio piano comincia a incresparsi come quella carta colorata che si usa alle feste in maschera per confezionare abiti improvvisati, le curve di livello sono sempre rette parallele all'asse y, ma l'andamento è ondulato, per avere una idea più precisa di ciò che capita studio la seguente funzione $f(x)=x+senx$, mi accorgo che è sempre non decrescente e incontro punti di flesso orizzontale in corrispondenza di $x=pi+2kpi$ (multipli dispari di $pi$).Ora aggiungo $7y^2$, ma questa è una stretta valle con asse coincidente con l'asse x, alza sempre di più la mia funzione quando mi allontano dall'asse x, ma non influisce sulla forma del grafico in corrispondenza dell'asse x. Infine tolgo $pi$ e tutto mi si sposta in giù di quella quantità: in corrispondenza dell'origine non mi trovo più a quota 0, ma a quota $-pi$.
I punti stazionari di coordinate $(pi+2kpi;0)$ li descriverei così: muovendomi perpendicolarmente all'asse x, ho un minimo, muovendomi parallelamente all'asse x ho un flesso orizzontale... non so se si chiama sella, ma potrei aver sbagliato io tutto.
Tu che ne pensi?
Ciao!
Grazie per la risposta! Anche io di solito quando non riesco ad utilizzare il test della matrice hessiana provo a rappresentarmi la funzione ed in seguito studiarne il segno:
$f(x,y) >= f(x_0,y_0) $ però questa volta non ci sono riuscito.
La soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ ((2k+1)pi,0)$ tutti punti di sella
Nella teoria i punti di sella li abbiamo definiti in questo modo:
"Un punto stazionario $x_0$ che non è di estremo si dice punto di sella" proprio perchè in quel punto viene a formarsi una "sella".
Se noi vediamo il minimo / flesso orizzontale, su un sistema a tre coordinate può essere rappresentato come un punto di sella?
Grazie mille
Ciaoo!
Grazie per la risposta! Anche io di solito quando non riesco ad utilizzare il test della matrice hessiana provo a rappresentarmi la funzione ed in seguito studiarne il segno:
$f(x,y) >= f(x_0,y_0) $ però questa volta non ci sono riuscito.
La soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ ((2k+1)pi,0)$ tutti punti di sella
Nella teoria i punti di sella li abbiamo definiti in questo modo:
"Un punto stazionario $x_0$ che non è di estremo si dice punto di sella" proprio perchè in quel punto viene a formarsi una "sella".
Se noi vediamo il minimo / flesso orizzontale, su un sistema a tre coordinate può essere rappresentato come un punto di sella?
Grazie mille
Ciaoo!
Detto alla buona, il punto di sella è l'equivalente del flesso a tangente orizzontale nelle funzioni di una variabile: è un punto in cui non si ha né un massimo né un minimo (la motivazione della "sella" sta nel grafico 
).
Quoto il metodo di gio73 perché anche a me piace molto immaginare la funzione. [size=85]Una volta ci riuscivo, ora mi sto arrugginendo...[/size]
Un metodo abbastanza sconsigliato (
) ce lo aveva consigliato [sorry per il bisticcio verbale!] l'assistente del prof di analisi II. Si studiavano due funzioni ad una variabile che si ottenevano dall'originale considerando due direzioni perpendicolari (per esempio $y=x$ e $y=-x$) in modo da trovare che se nei punti incriminati:
- una delle 2 ha massimo e l'altra minimo il punto è di sella;
- non ci si capisce niente, allora abbiamo beccato le uniche 2 direzioni che non ci danno informazioni (non mi dite come si fa a dimostrare questa cosa che ho detto!) e occorre considerarne altre 2.
Lui diceva che funzionava sempre: a me ha funzionato quelle "2" volte che l'avrò utilizzato 5 anni fa con esercizi di analisi II.
Buone feste
[size=85]Spero che non ho scritto cavolate perché per un paio di giorni non ci sono e non posso "smentirmi" o "fare ammenda"[/size].
).Quoto il metodo di gio73 perché anche a me piace molto immaginare la funzione. [size=85]Una volta ci riuscivo, ora mi sto arrugginendo...[/size]
Un metodo abbastanza sconsigliato (
) ce lo aveva consigliato [sorry per il bisticcio verbale!] l'assistente del prof di analisi II. Si studiavano due funzioni ad una variabile che si ottenevano dall'originale considerando due direzioni perpendicolari (per esempio $y=x$ e $y=-x$) in modo da trovare che se nei punti incriminati:- una delle 2 ha massimo e l'altra minimo il punto è di sella;
- non ci si capisce niente, allora abbiamo beccato le uniche 2 direzioni che non ci danno informazioni (non mi dite come si fa a dimostrare questa cosa che ho detto!) e occorre considerarne altre 2.
Lui diceva che funzionava sempre: a me ha funzionato quelle "2" volte che l'avrò utilizzato 5 anni fa con esercizi di analisi II.
Buone feste
[size=85]Spero che non ho scritto cavolate perché per un paio di giorni non ci sono e non posso "smentirmi" o "fare ammenda"[/size].
Ciao!
Grazie anche a te per la risposta.. in effetti l'unico modo per arrivare ad una conclusione è quello di rappresentarsi la funzione.. però a volte è veramente un bel problema! Ho provato con il tuo metodo ed in effetti risulta proprio un punto di massimo ed uno di minimo.. quindi posso considerarli come punti di sella!
Grazie mille a tutti
Buone feste
Ciaoo!
Grazie anche a te per la risposta.. in effetti l'unico modo per arrivare ad una conclusione è quello di rappresentarsi la funzione.. però a volte è veramente un bel problema! Ho provato con il tuo metodo ed in effetti risulta proprio un punto di massimo ed uno di minimo.. quindi posso considerarli come punti di sella!
Grazie mille a tutti
Buone feste
Ciaoo!
Può essere conveniente riscrivere la funzione come
\[
f(x,y) = h(x) + g(y), \qquad
h(x) := x+\sin x,\quad g(y) := 7y^2+\pi.
\]
Poiché \(h\) è strettamente monotona crescente, la funzione \(f\) non può avere punti di massimo o minimo relativo; infatti, fissato un quasiasi punto \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\) si ha
\[
f(x_0-h, y_0) < f(x_0, y_0) < f(x_0+h, y_0), \qquad \forall h>0.
\]
\[
f(x,y) = h(x) + g(y), \qquad
h(x) := x+\sin x,\quad g(y) := 7y^2+\pi.
\]
Poiché \(h\) è strettamente monotona crescente, la funzione \(f\) non può avere punti di massimo o minimo relativo; infatti, fissato un quasiasi punto \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\) si ha
\[
f(x_0-h, y_0) < f(x_0, y_0) < f(x_0+h, y_0), \qquad \forall h>0.
\]
Ottima idea Rigel, grazie.
Mi rimane però un dubbio: i punti critici che abbiano le caratteristiche di quelli trovati in questa funzione possono essere chiamati "selle"? Se non si possono chiamare selle, quale altro nome si assegna loro, [size=70]sempre che si meritino un epiteto.[/size]
Mi rimane però un dubbio: i punti critici che abbiano le caratteristiche di quelli trovati in questa funzione possono essere chiamati "selle"? Se non si possono chiamare selle, quale altro nome si assegna loro, [size=70]sempre che si meritino un epiteto.[/size]
La nomenclatura non è universalmente accettata.
Alcuni chiamano punti di sella i punti critici che non siano di estremo relativo, altri invece indicano con lo stesso nome solo i punti critici tali che la matrice hessiana abbia autovalori sia positivi che negativi.
Io, per evitare problemi, chiamo i punti trovati nell'esercizio "punti né di massimo né di minimo (relativo)", così non scontento nessuno.
Alcuni chiamano punti di sella i punti critici che non siano di estremo relativo, altri invece indicano con lo stesso nome solo i punti critici tali che la matrice hessiana abbia autovalori sia positivi che negativi.
Io, per evitare problemi, chiamo i punti trovati nell'esercizio "punti né di massimo né di minimo (relativo)", così non scontento nessuno.
Grazie mille per tutte le risposte.. ora mi è più chiaro lo studio della funzione nel caso del determinante nullo.
Grazie ancora
Buon anno a tutti voi!
Ciaoo
Grazie ancora
Buon anno a tutti voi!
Ciaoo
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