Classificazione punti critici con vincolo
Buongiorno, qualcuno di buona volontà potrebbe aiutarmi ?
L'esercizio è questo :
Classificare i punti critici della funzione $ f(x;y)=1-x^2-y^2 $ e determinare massimo e minimo asoluti nel cerchio $ (x+1)^2 +(y-1)^2 <= 1 $
Io ho cominciato calcolando i punti critici della funzione ''in generale'' attraverso il gradiente uguale a zero e matrice da cui ottengo che un punto di massimo è (0;0). Ora non sono più sicuro che quello che faccio sia corretto o meno
Ho considerato la differenza tra la mia f(x;y) e $ lambda[(x+1)^2 +(y-1)^2 -1] $ di questa differenza ho calcolato le derivate parziali da cui ho ottenuto $ { ( x=-lambda /(1+lambda) ),( y=lambda/(1+lambda) ),( lambda^2 +2lamda -1=0 ):} $ da cui ho due soluzioni,
$ { ( x=-(1+sqrt2)/sqrt2 ),( y=(1+sqrt2)/sqrt2 ),( lambda=-1-sqrt2 ):} $
$ { ( x=-(sqrt2 -1)/sqrt2 ),( y=(sqrt2 -1)/sqrt2 ),( lambda=-1+sqrt2 ):} $
andando poi a sostituire i valori di (0;0) $ (-(1+sqrt2)/sqrt2 ;(1+sqrt2)/sqrt2 ) $ $ (-(sqrt2 -1)/sqrt2 ;(sqrt2 -1)/sqrt2 ) $ in f ottengo che il primo ed il secondo sono rispettivamente massimo e minimo assoluti nel vincolo.
Potreste dirmi se è giusto o se sto sbagliando qualcosa nei ragionamenti/metodi/utilizzo ? O anche se ci sono metodi alternativi che permettano di evitare sistemi in tre variabili quando ci sono vincoli con espressioni non proprio...gestibili ? grazie in anticipo
L'esercizio è questo :
Classificare i punti critici della funzione $ f(x;y)=1-x^2-y^2 $ e determinare massimo e minimo asoluti nel cerchio $ (x+1)^2 +(y-1)^2 <= 1 $
Io ho cominciato calcolando i punti critici della funzione ''in generale'' attraverso il gradiente uguale a zero e matrice da cui ottengo che un punto di massimo è (0;0). Ora non sono più sicuro che quello che faccio sia corretto o meno
Ho considerato la differenza tra la mia f(x;y) e $ lambda[(x+1)^2 +(y-1)^2 -1] $ di questa differenza ho calcolato le derivate parziali da cui ho ottenuto $ { ( x=-lambda /(1+lambda) ),( y=lambda/(1+lambda) ),( lambda^2 +2lamda -1=0 ):} $ da cui ho due soluzioni,
$ { ( x=-(1+sqrt2)/sqrt2 ),( y=(1+sqrt2)/sqrt2 ),( lambda=-1-sqrt2 ):} $
$ { ( x=-(sqrt2 -1)/sqrt2 ),( y=(sqrt2 -1)/sqrt2 ),( lambda=-1+sqrt2 ):} $
andando poi a sostituire i valori di (0;0) $ (-(1+sqrt2)/sqrt2 ;(1+sqrt2)/sqrt2 ) $ $ (-(sqrt2 -1)/sqrt2 ;(sqrt2 -1)/sqrt2 ) $ in f ottengo che il primo ed il secondo sono rispettivamente massimo e minimo assoluti nel vincolo.
Potreste dirmi se è giusto o se sto sbagliando qualcosa nei ragionamenti/metodi/utilizzo ? O anche se ci sono metodi alternativi che permettano di evitare sistemi in tre variabili quando ci sono vincoli con espressioni non proprio...gestibili ? grazie in anticipo
Risposte
Potresti passare in coordinate polari $(r, \theta) \mapsto (x=rcos(\theta),y= rsen(\theta))$, $\r >0, \theta in [0,2*pi)$, in questo modo riesci a parametrizzare la tua $f$ in modo naturale, che diventa $1-r^2$. Il vincolo poi è dato dalla palla compatta, che evidentemente si può parametrizzare anch'essa con coordinate polari.
Se puoi, potresti farmi vedere come si svolge poi la ricerca dei massimi e minimi con il vincolo ?
Comunque si in effetti diventa molto più gestibile così.
Comunque si in effetti diventa molto più gestibile così.
Forse non mi sono spiegato perfettamente: devi parametrizzare il vincolo in coordinate polari. Il bordo è una circonferenza di centro $C(-1,1)$. Devi sempre parametrizzarlo, in coordinate polari "traslate"
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