Classificazione punti critici
Ciao a tutti! Io ho la seguente funzione $f(x,y)=xy+y^2-3x$ e mi viene chiesto di determinare i punti critici e di classificarli. Allora $f:R^2 rarr R $ e $ finC^oo(R^2;R) $. Una funzione ha punti critici se e solo se $gradf=0$, in questo caso $gradf(x,y)=(y-3,x+2y) $ ed abbiamo che $gradf(x,y)=(y-3,x+2y)=(0,0)hArr { ( y-3=0 ),( x+2y=0 ):} hArr (x_o,y_o)=(3,-6) $
per determinare la natura del punto critico studio l'hessiana di f
$ Hf(x,y)=[ ( 0 , 1 ),( 1 , 2 ) ] = M $
ora studiando gli autovalori della matrice ho che $lambda_1=0 $ e $ lambda_2=2$ quindi la matrice simmetrica $M$ è semidefinita positiva. Tuttavia se una matrice simmetrica è semidefinita so che che non possiamo dire nulla A PRIORI sulla natura del punto critico. Dunque come dovrei procedere?
Inoltre su degli appunti online di analisi 2, consultabili a questo link:http://www.mat.unimi.it/users/libor/Analisi2/matrici_definite.pdf
ho notato il corollario 4 a pag.2 che permette di stabilire se una matrice 2x2 è definita/semidefinita/indefinita in base al segno del determinante. Nel mio caso ho che $det(M)=-1<0$ pertanto secondo la definizione riportata in quel link ho che la mia matrice è indefinita: mi trovo di fronte ad un punto di sella. Come spiegare questa incongruenza tra i due metodi (autovalori e determinante) ?
per determinare la natura del punto critico studio l'hessiana di f
$ Hf(x,y)=[ ( 0 , 1 ),( 1 , 2 ) ] = M $
ora studiando gli autovalori della matrice ho che $lambda_1=0 $ e $ lambda_2=2$ quindi la matrice simmetrica $M$ è semidefinita positiva. Tuttavia se una matrice simmetrica è semidefinita so che che non possiamo dire nulla A PRIORI sulla natura del punto critico. Dunque come dovrei procedere?
Inoltre su degli appunti online di analisi 2, consultabili a questo link:http://www.mat.unimi.it/users/libor/Analisi2/matrici_definite.pdf
ho notato il corollario 4 a pag.2 che permette di stabilire se una matrice 2x2 è definita/semidefinita/indefinita in base al segno del determinante. Nel mio caso ho che $det(M)=-1<0$ pertanto secondo la definizione riportata in quel link ho che la mia matrice è indefinita: mi trovo di fronte ad un punto di sella. Come spiegare questa incongruenza tra i due metodi (autovalori e determinante) ?
Risposte
Calcola bene gli autovalori.
"cechuz":
Come spiegare questa incongruenza tra i due metodi (autovalori e determinante) ?
Notando che gli autovalori sono $1+-sqrt(2)$
E' un punto di sella
"gugo82":
Calcola bene gli autovalori.
ops, hai ragione
.Nell'ipotesi in cui il $det(M)=0$ e la matrice è semidefinita bisogna ricorrere allo studio del segno della funzione variazione no?
Sì, una tecnica è quella.
ne approfitto per non aprire un ennesimo argomento, vi riporto un esercizio con (secondo i miei calcoli) matrice semidefinita per avere conferma della risoluzione. la funzione è la seguente: $f(x)=x^4+(x-y)^2$ , $ f in C^oo(R^2;R) $
allora $gradf(x,y)=(4x^3+2(x-y), -2(x-y) )=(0,0) hArr { ( 4x^3+2(x-y)=0 ),( -2(x-y)=0 ):} , { ( x=y ),( 4y^3=0 ):} hArr { ( x=0 ),( y=0 ):} hArr (x_0,y_0)=(0,0) $
studiamo la natura del punto con l'hessiana $Hf(x,y)= [ ( 12x^2+2 , -2 ),( -2 , 2 ) ] , Hf(0,0)= [ ( 2 , -2 ),( -2 , 2 ) ]=A $
$det(A)=4-4=0$ A è semidefinita quindi non possiamo dire nulla a priori sulla natura di $ (x_0,y_0) $
consideriamo la funzione variazione $ Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=x^4+(x-y)^2 $ e studiamone il segno:
$Deltaf(x,y)>0 AA (x,y)in R^2$
$Deltaf(x,y)=0hArr { ( x=0 ),( y=x ):} $ il che corrisponde all'origine dei due assi cartesiani
quindi ho che il punto $(0,0)$ è un punto di minimo relativo perchè $AA (x,y)!= (x_0,y_0)in U_(x_0,y_0)$ $f(x,y)>0 $
allora $gradf(x,y)=(4x^3+2(x-y), -2(x-y) )=(0,0) hArr { ( 4x^3+2(x-y)=0 ),( -2(x-y)=0 ):} , { ( x=y ),( 4y^3=0 ):} hArr { ( x=0 ),( y=0 ):} hArr (x_0,y_0)=(0,0) $
studiamo la natura del punto con l'hessiana $Hf(x,y)= [ ( 12x^2+2 , -2 ),( -2 , 2 ) ] , Hf(0,0)= [ ( 2 , -2 ),( -2 , 2 ) ]=A $
$det(A)=4-4=0$ A è semidefinita quindi non possiamo dire nulla a priori sulla natura di $ (x_0,y_0) $
consideriamo la funzione variazione $ Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=x^4+(x-y)^2 $ e studiamone il segno:
$Deltaf(x,y)>0 AA (x,y)in R^2$
$Deltaf(x,y)=0hArr { ( x=0 ),( y=x ):} $ il che corrisponde all'origine dei due assi cartesiani
quindi ho che il punto $(0,0)$ è un punto di minimo relativo perchè $AA (x,y)!= (x_0,y_0)in U_(x_0,y_0)$ $f(x,y)>0 $
Non capisco la parte sugli assi cartesiani...
Comunque, si ha $Delta f >=0 $ ovunque e $Delta f = 0 <=> (x,y)=(0,0)$; dunque $(0,0)$ è minimo assoluto.
Comunque, si ha $Delta f >=0 $ ovunque e $Delta f = 0 <=> (x,y)=(0,0)$; dunque $(0,0)$ è minimo assoluto.
"gugo82":
Non capisco la parte sugli assi cartesiani...
errore di scrittura, ora correggo
"gugo82":
[...] è minimo assoluto.
hai ragione,grazie!
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