Classificazione e riduzione a forma canonica di una quadrica

[rodrigoruiz1]

Buonasera, guardando degli esercizi di algebra mi sono trovato questo testo:

[math] 5x^2-y^2+8xy+5z^2-5z-2=0 [/math]

mi chiede di riconoscere la quadrica e di portarla in forma canonica, ora ad un certo punto l'esercizio trova la "forma canonica" (fra virgolette perchè a quanto pare non è ancora in forma canonica) e scrive:
Effettuando infine la rotazione che lascia fisso y, manda x in z e z in -x otteniamo: etc etc

ora, tutto il procedimento dell'esercizio l'ho capito tranne l'ultima parte della rotazione.

Grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, vogliamo classificare e ridurre a forma canonica la quadrica

[math]\sigma : 5\,x^2 - y^2 + 5\,z^2 + 8\,x\,y - 5\,z - 2 = 0 \; .\\[/math]

La matrice associata alla quadrica

[math]\sigma\\[/math]

è

[math]A' := \begin{bmatrix} 5 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & - \frac{5}{2} & - 2 \end{bmatrix}\\[/math]

che ha determinante

[math]\small \det(A') = \frac{1365}{4} > 0[/math]

; quindi,

[math]\sigma[/math]

è una quadrica
liscia, a punti iperbolici. La forma quadratica associata a

[math]\sigma[/math]

ha matrice
associata

[math]A := \begin{bmatrix} 5 & 4 & 0\\ 4 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}\\[/math]

il cui polinomio caratteristico è

[math]p_A(t) = - (t - 7)(t - 5)(t + 3)[/math]

e
i propri autovalori sono

[math]t_1 = 7[/math]

,

[math]t_2 = 5[/math]

,

[math]t_3 = - 3[/math]

, tutti semplici.
Poiché gli autovalori hanno segni discordi e la quadrica ha punti iperbolici,

[math]\sigma\\[/math]

è un iperboloide iperbolico, anche detto iperboloide a una falda.

Una sua forma canonica è

[math]7\,X^2 + 5\,Y^2 - 3\,Z^2 + \delta = 0[/math]

,
dove

[math]\delta\\[/math]

è la soluzione della seguente equazione:

[math]7\cdot 5\cdot(-3)\cdot \delta = \det(A') \; \; \Leftrightarrow \; \delta = - \frac{13}{4} \; .\\[/math]

Una forma canonica di

[math]\sigma\\[/math]

è quindi

[math]\small 7\,X^2 + 5\,Y^2 - 3\,Z^2 - \frac{13}{4} = 0 \; \Rightarrow \; \frac{28}{13}\,X^2 + \frac{20}{13}\,Y^2 - \frac{12}{13}\,Z^2 = 1 \; .\\[/math]

Per scrivere il cambio di coordinate che riporta

[math]\sigma[/math]

in
forma canonica abbiamo bisogno degli autospazi di

[math]A\\[/math]

:

[math]V(7) = \left\{ (x,\,y,\,z) | x - 2y = 0, \; z = 0 \right\} = \mathfrak{L}((2,\,1,\,0))\\[/math]

una cui base ortonormale è

[math]\left(\mathbf{e}_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \, \frac{1}{\sqrt{5}}, \; 0\right)\right)\\[/math]

;

[math]V(5) = \left\{ (x,\,y,\,z) | x = 0, \; y = 0 \right\} = \mathfrak{L}((0,\,0,\,1))\\[/math]

una cui base ortonormale è

[math]\left(\mathbf{e}_2 = (0,\,0,\,1)\right)\\[/math]

;

[math]V(-3) = \left\{ (x,\,y,\,z) | 2x + y = 0, \; z = 0 \right\} = \mathfrak{L}((1,\,-2,\,0))\\[/math]

una cui base ortonormale è

[math]\left(\mathbf{e}_3 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \, -\frac{2}{\sqrt{5}}, \; 0\right)\right)\\[/math]

.

Essendo

[math]\mathbf{e_1}\cdot(\mathbf{e}_2 \land \mathbf{e}_3) = +1 > 0[/math]

significa che

[math](\mathbf{e}_1,\,\mathbf{e}_2,\,\mathbf{e}_3)[/math]

è
una base ortonormale positiva di

[math]\mathbb{R}^3[/math]

e quindi la matrice che descrive
la rotazione è

[math]R = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & - \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \; .\\[/math]

Dato che il centro di simmetria dell'iperboloide è individuato da

[math]A \cdot \begin{bmatrix} x_C \\ y_C \\ z_C \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{5}{2} \end{bmatrix} \; \; \Rightarrow \; \; C = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}\\[/math]

possiamo concludere che il cambio di coordinate cercato è

[math]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = C + R \cdot \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}\\[/math]

e questo conclude l'esercizio. ;)