Classificazione di una singolarità (analisi complessa)

[angus89]

Classificare le singolarità della funzione
$f(z)=(e^z)/(z(1-e^(-z)))$
e calcolare il residuo in $0$

Ci ho provato in tutti i modi ma nulla, proprio non ci riesco, mostro brevemente quel che ho fatto

- Le singolarità ci sono nel punti $z_k=2k pi i$ con $k \in ZZ$

A questo punto non riesco a svolgere l'esercizio il fattore che mi disturba è $1/(1-e^(-z))$, proprio non riesco a svlilupparlo

Ad ogni mood ho pensato di usare la formula
$1/(2 pi i) \int_(gamma) (f'(z))/(f(z)) = $ Numero di zeri - numero di poli in $0$

Innanzitutto mi è sorta la domanda...E se la singolarità è essenziale cosa ci da questo integrale? Diverge?

Ad ogni modo per far risparmiare fatica a tutti ho trovato che la derivata logaritmica è
$(f'(z))/(f(z)) = 1 - 1/(e^z - 1) - 1/z$
Quindi dovrei integrarlo nuovamente su un cammino chiuso contenente l'origine (ad esempio la circonferenza unitaria) ma proprio non mi riesce.
Spero che qualcuno sappia aiutarmi...

[lilfo]

z = 0 è un polo del secondo ordine se non sbaglio. Quindi devi fare il limite della derivata della funzione per il quadrato di z. Facendo i conti vedi che ti viene un pezzo che è un limite notevole ed un altro semplice da calcolare.

[angus89]

"lilfo":z = 0 è un polo del secondo ordine se non sbaglio. Quindi devi fare il limite della derivata della funzione per il quadrato di z. Facendo i conti vedi che ti viene un pezzo che è un limite notevole ed un altro semplice da calcolare.

Grazie mille, ma come ci sei arrivato?

Però non sono daccordo suu come calcoli il residuo...

Il metodo delle derivate si usa in un altro modo, se $f$ ha un polo di ordine $m$ in $z_0$ allora
$f(z)=1/((z-z_0)^k) g(z)$
e vale che
Res($f,z_0$)=$(g^((m-1))(z_0))/((m-1)!)$

Poi controllare qui wiki

Quello che dici te mi pare sia una cosa un po diversa...
Edit: corretto formula

[lilfo]

In genere quando non si riescono a fare i limiti ci sono quelli notevoli che aiutano Comunque hai sbagliato a scrivere la f(z), z-z0 sta al denominatore. Se rileggi meglio credo proprio di averlo scritto bene (derivata di f per z quadro che sarebbe g, poi il fattoriale sotto non lo metto perchè è 1)

[angus89]

Hai ragione mi ero sbagliato a scrivere la formula che ho corretto, ad ogni modo non è corretto come imposti il conto te (oppure ho capito male io)

Ora ti dico come lo imposto io

Se $f$ ha un polo in $0$ di grado 2 allora
$f(z)= g(z)/(z^2)$

Devo calcolare $g'(0)$ per avere il residuo!

PS: comunque mi resta il dubbio su come faccio a capire che il polo ha molteplicità 2

Edit: corretto formula

[lilfo]

hai sbagliato di nuovo a scrivede..se f ha polo in 0 di grado due allora è uguale a g diviso z al quadrato

f(z) è la funzione "completa" mentre g(z) è la funzione moltiplicata per (z-z0) elevato ad un numero pari all'ordine del polo

laderivata si deve fare per g(z) (cioè per f moltiplicata per z-z0) mentre tu hai scritto la derivata di f

l'ordine del polo in questo caso lo vedi ad occhio perchè c'è sia z che (1-e^-z) che vanno a 0 per z che tende a 0..quindi sono due..

[angus89]

"lilfo":z = 0 è un polo del secondo ordine se non sbaglio. Quindi devi fare il limite della derivata della funzione per il quadrato di z. Facendo i conti vedi che ti viene un pezzo che è un limite notevole ed un altro semplice da calcolare.

Si ad ogni modo devi fare il limite per $z -> 0$ della derivata di $z^2 f(z)$, mentre a me pare di capire che tu qui abbia scritto di fare il limite per $z->0$ di $z^2 f'(z)$ e così non è...

[lilfo]

no no..intendevo proprio quello che dici anche tu..cioè derivata di ( f per z al quadrato ) e non ( derivata di f ) per z al quadrato