Classificazione di funzioni e diagramma di Venn

[voxzzzisf]

Ho alcuni insiemi di funzioni reali definite nell'intervallo [-1,+1].

L'insieme delle funzioni continue.
L'insieme delle funzioni derivabili (suppongo derivabili in ogni punto).
L'insieme delle funzioni integrabili.
L'insieme delle funzioni limitate.
L'insieme di tutte le funzioni

Devo costruire un diagramma di Venn che rappresenti tali insiemi.

Ditemi se sbaglio qualcosa:

-per essere integrabile oppure derivabile oppure continua, una funzione deve essere limitata.
-per essere derivabile deve essere continua (o comunque generalmente continua).

Che relazione c'e tra le funzioni derivabili e quelle integrabili? Esistono funzioni derivabili ma non integrabili (o viceversa?).

Infine dovro' portare un esempio di funzione per ogni insieme, ma a questo ci pensero' dopo.

Grazie in anticipo per eventuali suggerimenti (graditi eventuali riferimenti a teoremi)

[dissonance]

Bello l'avatar! Comunque, devi specificare che intendi per "integrabili". Ad esempio, una funzione derivabile ma non integrabile in $[1, infty)$ è $1/x$. Però sto parlando di integrali in un senso ampliato, tu forse parli di integrali su intervalli chiusi e limitati?
E poi, una funzione derivabile non è generalmente continua. E' proprio continua, ovunque.

[voxzzzisf]

"dissonance":Bello l'avatar! Comunque, devi specificare che intendi per "integrabili". Ad esempio, una funzione derivabile ma non integrabile in $[1, infty)$ è $1/x$. Però sto parlando di integrali in un senso ampliato, tu forse parli di integrali su intervalli chiusi e limitati?

Si, parlavo di funzioni definite nell'insieme [-1,1], quindi integrali definiti da -1 a 1.

"dissonance":E poi, una funzione derivabile non è generalmente continua. E' proprio continua, ovunque.

Infatti mi sono sbagliato. Sono le integrabili che richiedono al massimo un numero finito di punti di discontinuita'... se non sbaglio di nuovo

[dissonance]

E allora se parli di integrali in $[-1, 1]$ la derivabilità non aggiunge niente di nuovo. Tutte le funzioni continue sono integrabili, non tutte le funzioni integrabili sono continue, le funzioni derivabili sono un sottoinsieme delle funzioni continue.

[gugo82]

E ci sono funzioni sia funzioni integrabili non limitate sia funzioni limitate non integrabili.

[voxzzzisf]

"Gugo82":E ci sono funzioni sia funzioni integrabili non limitate sia funzioni limitate non integrabili.

Quindi l'insieme delle funzioni integrabili e quello delle funzioni limitate si intersecano, anziche' essere uno sottoinsieme dell'altro?

[voxzzzisf]

"dissonance":E allora se parli di integrali in $[-1, 1]$ la derivabilità non aggiunge niente di nuovo. Tutte le funzioni continue sono integrabili, non tutte le funzioni integrabili sono continue, le funzioni derivabili sono un sottoinsieme delle funzioni continue.

Questo mi mette in difficolta'.


Devo piazzare gli insiemi di funzioni in tale diagramma:

A: continue
B: derivabili
C: integrabili
D: limitate
E: tutte

tutte le funzioni sono funzioni reali definite nell'intervallo [-1,+1]

Abbiamo detto che:

- le funzioni derivabili sono un sottoinsieme delle funzioni continue: DERIVABILI $sub$ CONTINUE
- tutte le funzioni continue sono integrabili: CONTINUE $sub$ INTEGRABILI
- non so come sistemare gli insiemi C e D in quel disegno.

[gugo82]

"voxzzzisf":[quote="Gugo82"]E ci sono funzioni sia funzioni integrabili non limitate sia funzioni limitate non integrabili.

Quindi l'insieme delle funzioni integrabili e quello delle funzioni limitate si intersecano, anziche' essere uno sottoinsieme dell'altro?[/quote]
Già.

Pensa alla funzione:

$f(x):=\{(0, ", se " x=0),(1/x^2, ", se " 0
Essa è integrabile alla Riemann e non mi pare sia limitata in $[0,1]$.

Analogamente, la funzione di Dirichlet è limitata ma non integrabile su $[0,1]$.

[voxzzzisf]

Ma allora: essendo la tua f(x) non limitata ma integrabile
e, essendo la funzione di Dirichlet limitata ma integrabile (secondo Labesque)...
Non posso dire che le limitate sono un sottoinsieme delle integrabili?

Mi date un esempio di funzione limitata ma non integrabile neanche secondo Labesque?

[Camillo]

Il nome corretto del matematico francese è Lebesgue , vedi biografia :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~his ... esgue.html

[gugo82]

"voxzzzisf":Mi date un esempio di funzione limitata ma non integrabile neanche secondo Labesgue?

Basta prendere la funzione caratteristica di un qualunque insieme non misurabile secondo Lebesgue.

Infatti, assegnato $E \subseteq RR$, si verifica che la funzione caratteristica:

$\chi_E(x):=\{(1, ", se " x \in E),(0, ", se " x\notin E):}$

è misurabile (e quindi integrabile come funzione semplice) se e solo se $E$ è misurabile e che, in tal caso, $\int_RR \chi_E " d"m=m(E)$.

L'unica cosa brutta è che non è facile visualizzare un insieme non misurabile secondo Lebesgue; tuttavia l'esistenza di almeno un tale insieme (che, tra le altre cose, viene fuori limitato) si può provare rigorosamente usando l'Assioma della Scelta.

[voxzzzisf]

"Gugo82":[quote="voxzzzisf"][quote="Gugo82"]
Pensa alla funzione:

$f(x):=\{(0, ", se " x=0),(1/x^2, ", se " 0
Essa è integrabile alla Riemann e non mi pare sia limitata in $[0,1]$.

[/quote][/quote]

Ho letto navigando un po in giro che se una funzione non e' limitata in un intervallo, allora non e' integrabile alla Riemann, smentiscimi se sbaglio!!!

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Ecco quindi la mia versione pseudo-finale:
funzioni definite in [-1,1]:

derivabili $\sub$ continue $\sub$ integrabili(Riemann) $\sub$ limitate $\sub$ tutte:

esempi:

derivabile(x) = $x$

continua(x) = $|x|$(non derivabile in x=0)

integrabile(x) $= \{(-1, "se " x<0), (1, "se " x\geq0):}$ (ha un punto di discontinuita')

limitata(x) $= \{(-1, "se " x \in \mathbb{Q}), (1, "se " x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}):}$ (ha un punto di discontinuita')

(non e' integrabile secondo riemann, ma ha massimo e minimo)

non_nei_precedenti_insiemi(x) $= \{(\frac{-1}{x}, "se " x \in \mathbb{N}-{0}), (\frac{1}{x}, "se " x \in \mathbb{R} - \mathbb{N}-{0}),(0, "se " x=0) :}$(non e' integrabile secondo riemann, ma non ha massimo e minimo)

[dissonance]

Ho letto navigando un po in giro che se una funzione non e' limitata in un intervallo, allora non e' integrabile alla Riemann, smentiscimi se sbaglio!!!

E si. Un'altra volta questa confusione sulle definizioni. Leggi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#294683
Il fatto è che le definizioni tendono a cambiare passando ai livelli più avanzati. Nei primi anni di università, uno di solito considera "integrabili alla Riemann" solo alcune particolari funzioni limitate. Per estendere questa nozione parla di "funzioni integrabili impropriamente".

Quando poi uno passa ad occuparsi di questioni più avanzate, questa distinzione (molto scomoda e artificiosa) cade e allora si parla di funzioni "integrabili alla Riemann" anche per funzioni non limitate. Ecco perché in questi giorni ci stiamo confondendo. Io tendo ad usare la definizione "dei bambini", Gugo (e anche Sidereus in un altro post) quella "dei grandi".

Basta mettersi d'accordo sulle definizioni, quindi. Tu sei uno studente? Segui qualche corso, o leggi qualche testo? Ti consiglio di andare a rileggere la definizione di "funzione integrabile alla Riemann" e di formarti una opinione personale in merito.

[voxzzzisf]

Si sono uno studentello di analisi 1.
E in quanto tale considererei integrabili alla Riemann solo le funzioni limitate e continue (e generalmente continue)

Essi' purtroppo nella maggior parte dei casi ci sono problemi di comprensione di questo tipo...

Alle elementari ci insegnano che 4 diviso 5 "non si puo fare" eheh

[gugo82]

Una funzione $f$ non limitata intorno ad un numero finito di punti di $[a,b]$ si dice integrabile secondo Riemann in $[a,b]$ se e solo se:

1) essa è integrabile nei compatti $[alpha,beta] \subseteq [a,b]$ non contenenti punti intorno ai quali $f$ non è limitata;
2) se esiste l'integrale improprio $\int_a^b f(x)" d"x$.

Questa è Analisi I, mica roba superiore...

[dissonance]

"Gugo82":Questa è Analisi I, mica roba superiore...

Personalmente non sono d'accordo. Se fossi un insegnante di Analisi 1 -probabilmente mi avrebbero già licenziato- ma comunque insegnerei che le funzioni integrabili secondo Riemann sono esclusivamente tra quelle definite in un intervallo compatto e limitate. Il resto lo insegnerei, ma considerandolo una estensione di questo concetto (integrale improprio).

Così facendo uno avrebbe uno spazio vettoriale di funzioni, diciamo $R([a,b])$, contenuto nello spazio delle funzioni limitate, normabile con la norma del sup (e completo, anche), sul quale iniziare a muovere i primi passi di analisi funzionale. Mentre se ammettiamo le funzioni impropriamente integrabili, diventa tutto più complicato: lo spazio non lo puoi più normare sic et simpliciter, hai problemi con il prodotto, e anche verificare la stessa integrabilità è più difficile e fuorviante.

I.M.H.O. naturalmente. Ma mi farebbe piacere la tua opinione, e anche quella degli altri.

[gugo82]

Sono le considerazioni di tipo "spazio normato" ad essere roba superiore; uno studente del primo anno non saprebbe che farsene, gli rimarrebbero come considerazioni appese così per aria...

Bah, sarò io che sono tradizionalista.