Classificare punti stazionari di una funzione in due variabili:
Buongiorno , mi sto cimentando in esercizi per la ricerca e classificazione di punti stazionari di funzioni in due variabili. Data una funzione mi calcolo le derivate parziali, pongo il gradiente =0 e mi trovo i vari punti stazionari. Ora procedendo con la matrice Hessiana , mi ritrovo quasi sempre l'Hessiano nullo. Il mio prof procede con il metodo del segno per classificare i vari punti... ora non capisco come faccio a studiare il segno.. Ad esempio se ho una funzione del tipo:
$y^2+x^2 y +1$
Ottengo che l'unico punto stazionario è (0,0).. ed ottengo poi con i vari calcoli l'Hessiano nullo, ora non so procedere con lo studio del segno... Grazie mille in anticipo.
$y^2+x^2 y +1$
Ottengo che l'unico punto stazionario è (0,0).. ed ottengo poi con i vari calcoli l'Hessiano nullo, ora non so procedere con lo studio del segno... Grazie mille in anticipo.
Risposte
Puoi osservare che in $(0,0)$ si ha $f(0,0)=1$. Pertanto puoi guardare come è fatto il segno di $f(x,y)-f(0,0)=y^2+yx^2=y(y+x^2)$. Osserva che tale differenza è il prodotto di due polinomi: se disegni i grafici delle due funzioni $y=0,\ y+x^2=0$ (la prima è l'asse delle $x$, la seconda una parabola passante per l'origine e con concavità verso il basso), puoi suddividere il piano in varie zone in ciascuna delle quali avrai segni diversi. Ricorda che $y>0$ significa prendere il semipiano superiore, mentre $y> -x^2$ implica prendere la parte esterna alla parabola.
Quindi ottengo che per y>0 ho segno positivo, fuori la parabola segno positivo e dentro essa negativo...quindi ho solo un punto di sella in (0,0) ?
Veramente a me viene positivo nel semipiano superiore e dentro la parabola. Ricorda che devi fare i prodotti. Comunque sì, mi risulta una sella.
Si, giusto ! ma devo studiare i segni solo f(x,y)>0 oppure f(x,y) >= 0?
E' indifferente, basta che piazzi tutto per bene nel grafico. I valori $=0$ sono le curve stesse.
Perfetto. Se ho una funzione tipo:
$y^2+ log(x+y)$ ho come derivate parziali :
$1/(x+y)$ e$ 2+ 1/(x+y)$ ora quando il gradiente si annulla?
$y^2+ log(x+y)$ ho come derivate parziali :
$1/(x+y)$ e$ 2+ 1/(x+y)$ ora quando il gradiente si annulla?
Io direi mai, non ti pare?
E come procedo in questo caso? non ci sono punti critici?
Per prima cosa analizza il dominio: la funzione è definita quando $x+y>0$, cioè $y>-x$, e quindi nel semipiano che si trova sopra la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Ora, quando ti avvicini a tale retta, la funzione ha limite $-\infty$, e da lì in generale cresce. L'assenza di punti in cui si annulla il gradiente ti permette di dire che non ci sono punti critici e che quindi non vi sono estremi.
Come scrivo analiticamente il limite ? cioè lim di x che tende a cosa? ed y?
$\lim_{x+y\to 0} f(x,y)=-\infty$, no? Comunque non hai bisogno di scriverlo esplicitamente, puoi anche dirlo a parole. L'importante è che sia chiaro cosa accade alla funzione.
Non ho capito questo ultimo passaggio... il prof ci dice di usare i limiti agli estremi del dominio della funzione...perchè con x+y-->0?
Perché quando i punti si avvicinano a quella retta, hai che $x+y=0$, non ti pare?
Tutto chiaro. Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo