Classificare i punti di uno spazio metrico...

[mefist90-votailprof]

Ciao a tutti...

Sia (X, d) uno spazio metrico, con X = retta e A un sottoinsieme (3,11) di X.

Sia p € X = (2).
q € X = (5)
t € X = (11)

determinare per caiscuno di questi punti se è interno, esterno, o di frontiera per A.

Bene, io so che un punto p è interno se esiste un r > 0 t.c. B(p,r) è contenuto in A.
Ma detto questo, come diavolo faccio a calcolare se effettivamente esiste un r che soddisfi questa condizione?

[gugo82]

@ shinji: per favore cerca di imparare il MathML per inserire le formule (il link alle istruzioni lo trovi cliccando su formule, appunto).
Grazie.

[Injo]

In questo caso mi sembra particolarmente semplice visto che non c'è generalità ma vi sono dati specifici.

Con $q=5$ puoi considerare ad esempio un $r=1$. Allora si ha che la palla aperta $B(5,1)\subeX$ quindi $q\inX$. Lo si verifica facilmente in maniera abbastanza intuitiva.

Con $p=2$ puoi considerare ad esempio un $r=1/2$. Con questo raggio hai che $B(2,1/2)\subeX'$ dove $X'$ è il complementare di $X$. Allora se il punto è interno al complementare, cosa puoi concludere sulla relazione tra il punto ed $X$?

Infine puoi vedere che per $t=11$, comunque tu scegli $r\in\RR$ avrai sempre che la palla $B(t,r)$ interseca sia $X$ che il suo complementare. Ti ricorda nessuna definizione questo fatto?

[mefist90-votailprof]

Ah, ok, allora è come pensavo: devo "pensare" io ad un possibile r da considerare e dimostrare che per quel dato r tutti i punti dell'intorno di p sono interni o esterni... credevo ci fosse un modo per trovare direttamente tutti i possibili r per i quali si può dimostrare che un punto è interno o esterno, tipo una qualche specie di disequazione...

Grazie mille ^_^

[Injo]

Beh, in questo caso un punto generico $x$ per essere interno basta che la palla abbia raggio $r

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