Classificare i punti critici per funzioni a due variabili
Salve a tutti.
Vi scrivo per chiedervi aiuto riguardo questo esercizio:
Determinare e classificare gli eventuali punti critici della funzione
$ f(x,y)= (x^2+y^2)^3 -3(x^2+y^2) $
Calcolando le derivate parziali e imponendole uguali a zero ottengo:
$ { ( 6x[(x^2+y^2)^2-1] ),(6y[(x^2+y^2)^2-1] ):} $
e dunque come punto critico ottengo l'origine e poi l'equazione della circonferenza pari a: $ x^2+y^2=1 $
In questo caso come vengono determinati i punti critici?
Vi ringrazio anticipatamente!
Vi scrivo per chiedervi aiuto riguardo questo esercizio:
Determinare e classificare gli eventuali punti critici della funzione
$ f(x,y)= (x^2+y^2)^3 -3(x^2+y^2) $
Calcolando le derivate parziali e imponendole uguali a zero ottengo:
$ { ( 6x[(x^2+y^2)^2-1] ),(6y[(x^2+y^2)^2-1] ):} $
e dunque come punto critico ottengo l'origine e poi l'equazione della circonferenza pari a: $ x^2+y^2=1 $
In questo caso come vengono determinati i punti critici?
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Puoi porre $t=x^2+y^2$ ed ottenere $f(t)=t^3-3t$.
Da questa $f'(t)=3t^2-3=3(t^2-1)$ che si annulla per $t=\pm1$ e vedere di che natura sono quei punti in modo da sapere cosa accade per $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=-1$ quando vai a risostituire.
Ovviamente quando risostituisci ti accorgi che una delle due non esiste.
EDIT.
Ho visto mentre scrivevo che ha risposto TeM e la mia soluzione contrasta con la sua. Ci penserò su e se avrò scritto qualcosa di sbagliato editerò il messaggio... sempre se me ne accorgo!
Da questa $f'(t)=3t^2-3=3(t^2-1)$ che si annulla per $t=\pm1$ e vedere di che natura sono quei punti in modo da sapere cosa accade per $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=-1$ quando vai a risostituire.
Ovviamente quando risostituisci ti accorgi che una delle due non esiste.
EDIT.
Ho visto mentre scrivevo che ha risposto TeM e la mia soluzione contrasta con la sua. Ci penserò su e se avrò scritto qualcosa di sbagliato editerò il messaggio... sempre se me ne accorgo!
Vi ringrazio per la risposta!
Ma purtroppo non mi è chiara la seconda parte dell'esercizio, cioè come si determinano i punti critici quando ho la circonferenza $ x^2+y^2=1 $ Non deve essere calcolato il determinante dell'hessiana?
Non ho capito inoltre come si giunge al punto di coordinate
$ (x,y)= (cosvartheta , sinvartheta) $ per $ varthetain [0,2pi ) $
e di consegueza in che modo viene classificato il punto.
Da poco sto affrontando questi esercizi quindi scusate le probabili domande banali, vi ringrazio anticipatamente.
Ma purtroppo non mi è chiara la seconda parte dell'esercizio, cioè come si determinano i punti critici quando ho la circonferenza $ x^2+y^2=1 $ Non deve essere calcolato il determinante dell'hessiana?
Non ho capito inoltre come si giunge al punto di coordinate
$ (x,y)= (cosvartheta , sinvartheta) $ per $ varthetain [0,2pi ) $
e di consegueza in che modo viene classificato il punto.
Da poco sto affrontando questi esercizi quindi scusate le probabili domande banali, vi ringrazio anticipatamente.
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