Classe di una funzione
Ciao ragazzi !
Mi potreste spiegare perchè $ f(x)=2cos(x+sqrt(x))-(1+e^(-x)) $ $ in C^(1) $ $ ([[0,1]]) $ ?
La derivata prima mi risulta essere uguale a $ -2sin(x+sqrt(x))(1+1/(2sqrt(x)))+e^(-x) $ , ma non è definita nell'intervallo ([0,1]) perchè $ 1/(2sqrt(x)) $ non è definita per x=0.
Dove sbaglio ?
Mi potreste spiegare perchè $ f(x)=2cos(x+sqrt(x))-(1+e^(-x)) $ $ in C^(1) $ $ ([[0,1]]) $ ?
La derivata prima mi risulta essere uguale a $ -2sin(x+sqrt(x))(1+1/(2sqrt(x)))+e^(-x) $ , ma non è definita nell'intervallo ([0,1]) perchè $ 1/(2sqrt(x)) $ non è definita per x=0.
Dove sbaglio ?
Risposte
Quella formula ti dà la derivata prima nei punti non singolari. Per \(x=0\) la radice quadrata presente nell'argomento del coseno non è derivabile e quindi ti tocca controllare a mano la derivabilità applicando direttamente la definizione (limite del rapporto incrementale) oppure vedendo se si può applicare il teorema di Darboux, che dice:
se una funzione \(f\colon I \to \mathbb{R}\) è continua ovunque, è derivabile in un intorno di \(x_0\) e la sua derivata prima ammette limite finito \(l\) per \(x\to x_0\), allora \(f\) è derivabile anche in \(x_0\) e \(f'(x_0)=l\).
se una funzione \(f\colon I \to \mathbb{R}\) è continua ovunque, è derivabile in un intorno di \(x_0\) e la sua derivata prima ammette limite finito \(l\) per \(x\to x_0\), allora \(f\) è derivabile anche in \(x_0\) e \(f'(x_0)=l\).
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