Classe di un a funzione

[paolotesla91]

Salve a ragazzi avrei dei problemi nel definire la classe di una funzione negli esercizi voi sapreste dirmi come riconoscerle?


Grazie in anticipo

[Camillo]

Metti degli esempi, comunque una funzione $f in C^0 $ se è continua in un certo dominio ; $f in C^1 $ se dotata di derivata prima continua etc .-
$f in C ^(oo) $ se infinitamente derivabile.

[paolotesla91]

esempio la funzione $f(x,y)=xy$ a che classe appartiene e come faccio ad accorgermene?


L'ultima che hai detto ovviamente implica che anche le infinite derivate siano continue giusto?

[Zero87]

"paolotesla91":esempio la funzione $f(x,y)=xy$ a che classe appartiene e come faccio ad accorgermene?

Dovresti sapere che prodotto/somma/composizione e rapporto (con qualche accorgimento però in quest'ultimo caso) di funzioni $C^n$ mi da una funzione di classe $C^n$.
Quando si inizia a parlare di classi di funzioni, si parla di funzioni "di partenza" e si fa vedere che prodotto/somma... ecc... di funzioni di classe $C^n$ resta $C^n$. Il risultato più interessante è proprio il fatto che i polinomi sono $C^{\infty}$

Facciamo un esempio. Si inizia dicendo che $f(x)=x$ e $f(x)=c$ con $c$ costante reale sono funzioni $C^{\infty}$. Poi si dimostra (dipende dai prof.) che somma/prodotto/composizione e rapporto di funzioni $C^\infty$ resta $C^\infty$ e si conclude - ad esempio - che tutti i polinomi sono $C^\infty$.

"paolotesla91":L'ultima che hai detto ovviamente implica che anche le infinite derivate siano continue giusto?

Credo proprio di sì.

[paolotesla91]

ok grazie mille zero allora da ciò devo dedurre che una funzione del tipo: $f(x,y)= e^x-log(y-1)$ è di classe $C^infty$ giusto?

[Camillo]

Stai parlando di funzioni di due variabili.
Chiaramente puoi derivare parzialmente rispetto ad $ x $ tutte le volte che vuoi per qualunque valore di $x $.
Rispetto ad $ y $ pure purchè tu stia nel suo dominio che è $y>1 $.
A questo punto concludo che $f(x,y ) in C^(oo) $ in $ x in RR , y> 1 $.

[ Certo le varie derivate devono essere continue ].

[paolotesla91]

ok grazie camillo quindi basta verificare il tipo di funzione e che sia derivabile con derivata continua e non esistono dei parametri da tener conto?!