Classe delle funzioni localmente integrabili è molto vasta?
Ciao a tutti..
C'è un teorema che dice che tutte le funzioni con al più delle discontinuità di prima specie sono localmente integrabili.. E il mio professore dice che le funzioni monotone e le funzioni continue ammettono alpiù una discontinuità di prima specie.. Qualcuno di voi mi sa spiegare il perchè? Se una funzione è continua non dovrebbe ammettere discontinuità..
E poi.. sapete dove posso trovare una dimostrazione non troppo complicata? Quella del mio professore è davvero eccessiva secondo me!
C'è un teorema che dice che tutte le funzioni con al più delle discontinuità di prima specie sono localmente integrabili.. E il mio professore dice che le funzioni monotone e le funzioni continue ammettono alpiù una discontinuità di prima specie.. Qualcuno di voi mi sa spiegare il perchè? Se una funzione è continua non dovrebbe ammettere discontinuità..
E poi.. sapete dove posso trovare una dimostrazione non troppo complicata? Quella del mio professore è davvero eccessiva secondo me!
Risposte
Ricordo che sul forum si è già parlato del fatto che le funzioni monotone in un certo intervallo ammettono solamente discontinuità di prima specie... Prova ad usare la funzione "cerca".
Ho trovato questo post
post208608.html?hilit=monotone%20discontinuit%C3%A0%20prima%20specie#p208608
Che però da una dimostrazione utilizzando le partizioni..
Noi l'integrazione secondo Rieamann l'abbiamo impostata diversamente, senza citare le partizioni.. e anche se so che è giusto saperne sempre di più, so anche che il mio professore vuole che venga seguito il suo metodo ditattico.. eheh Non è colpa mia!
Questa è la dimostrazione del professore..
post208608.html?hilit=monotone%20discontinuit%C3%A0%20prima%20specie#p208608
Che però da una dimostrazione utilizzando le partizioni..
Noi l'integrazione secondo Rieamann l'abbiamo impostata diversamente, senza citare le partizioni.. e anche se so che è giusto saperne sempre di più, so anche che il mio professore vuole che venga seguito il suo metodo ditattico.. eheh Non è colpa mia!
Questa è la dimostrazione del professore..
Ma che cos'è che vuoi sapere, scusa? Alla fine mi pare che l'unica questione rimasta aperta è: "perché le funzioni monotone hanno solo discontinuità di prima specie?" - chiaramente infatti, una funzione continua non ha proprio discontinuità e quindi, a vuoto, ha solo discontinuità di prima specie.
La questione tra gli apici è risolta nelle ultime quattro righe di quello stralcio del tuo prof. Non ti manca nulla.
La questione tra gli apici è risolta nelle ultime quattro righe di quello stralcio del tuo prof. Non ti manca nulla.
Non capisco la dimostrazione. Perchè vuole dimostrare che $b\in T_\epsilon$ e tutto il resto?
Non ho mica chiesto che mi risolviate un esercizio.. sono stato garbato, educato.. non capisco perchè dobbiate essere così "freddi".
Non ho mica chiesto che mi risolviate un esercizio.. sono stato garbato, educato.. non capisco perchè dobbiate essere così "freddi".
"Freddo" sono stato solo io, non occorre il plurale. Il problema è che non si capiva proprio dove volevi arrivare, perché mischiavi più domande in una.
Comunque, adesso è chiaro che il problema delle funzioni monotone è assodato. Resta da capire questa dimostrazione: il punto che hai citato è facile - se \(b \in I_{\varepsilon}\) allora significa che esistono due funzioni semplici che approssimano \(f\) dall'alto e dal basso, e con precisione dell'ordine di \(\varepsilon\), su tutto \([a, b]\). Siccome \(\varepsilon\) è arbitrario, questo significa aver provato che \(f\) è integrabile in \([a, b]\).
Comunque, adesso è chiaro che il problema delle funzioni monotone è assodato. Resta da capire questa dimostrazione: il punto che hai citato è facile - se \(b \in I_{\varepsilon}\) allora significa che esistono due funzioni semplici che approssimano \(f\) dall'alto e dal basso, e con precisione dell'ordine di \(\varepsilon\), su tutto \([a, b]\). Siccome \(\varepsilon\) è arbitrario, questo significa aver provato che \(f\) è integrabile in \([a, b]\).
"dissonance":
"Freddo" sono stato solo io, non occorre il plurale. Il problema è che non si capiva proprio dove volevi arrivare, perché mischiavi più domande in una.
Comunque, adesso è chiaro che il problema delle funzioni monotone è assodato. Resta da capire questa dimostrazione: il punto che hai citato è facile - se \(b \in I_{\varepsilon}\) allora significa che esistono due funzioni semplici che approssimano \(f\) dall'alto e dal basso, e con precisione dell'ordine di \(\varepsilon\), su tutto \([a, b]\). Siccome \(\varepsilon\) è arbitrario, questo significa aver provato che \(f\) è integrabile in \([a, b]\).
Ti ringrazio della risposta.. ma perchè proprio $b$ deve appartenere a $I_\epsilon$ e da per assodato che $a\in I_\epsilon$?
Questo è vero a vuoto. Dire \(a \in I_{\varepsilon}\) significa dire che esistono funzioni semplici che approssimano \(f\) nell'intervallo banale \([a, a]\). Questo intervallo è ridotto ad un puntino solo, quindi puoi prendere come approssimanti qualsiasi cosa.
"dissonance":
Questo è vero a vuoto. Dire \(a \in I_{\varepsilon}\) significa dire che esistono funzioni semplici che approssimano \(f\) nell'intervallo banale \([a, a]\). Questo intervallo è ridotto ad un puntino solo, quindi puoi prendere come approssimanti qualsiasi cosa.
Ok.. grazie ancora.. ma purtroppo non ci arrivo.. Ci sono delle righe che proprio non riesco a collegare.. sarà che sono troppo cotto dalla giornata di oggi? Sarà che c'è ancora qualche cosa non ben chiara? Le righe sono quelle evidenziate..
1) Per ipotesi esiste $\delta > 0$ tale che vale quella relazione lì.. da dove l'ha presa??
2) Quando definisce le funzioni semplici $u_{c+\delta}$ e $v_{c+\delta}$, perchè le definisce in quel modo? Quell'$\epsilon$ evidenziato in rosso è un errore del testo?
Non ho proprio tempo di vedere i dettagli ora, quindi ti dico (IMHO) l'idea di quello che sta facendo. E' una specie di dimostrazione per induzione, ma in versione continua.
Il suo obiettivo è dimostrare \(b \in I_{\varepsilon}\). Lui sa che \(a \in I_{\varepsilon}\) (passo base) e ora sta dimostrando che \(c \in I_{\varepsilon} \Rightarrow c+\delta \in I_{\varepsilon}\) (passo induttivo). Fatto ciò lui passa a dimostrare che \(\xi=\sup I_{\varepsilon} \in I_{\varepsilon}\). Una volta fatto questo, ha finito: difatti, se per assurdo fosse \(\xi < b\), allora per il passo induttivo esisterebbe \(\delta\) tale che \( \xi + \delta \in I_{\varepsilon}\), contraddicendo il fatto che \(\xi \) ne è il sup.
Hai ragione, questa è una dimostrazione difficile. Ma tieni duro e vedrai che la capirai.
Il suo obiettivo è dimostrare \(b \in I_{\varepsilon}\). Lui sa che \(a \in I_{\varepsilon}\) (passo base) e ora sta dimostrando che \(c \in I_{\varepsilon} \Rightarrow c+\delta \in I_{\varepsilon}\) (passo induttivo). Fatto ciò lui passa a dimostrare che \(\xi=\sup I_{\varepsilon} \in I_{\varepsilon}\). Una volta fatto questo, ha finito: difatti, se per assurdo fosse \(\xi < b\), allora per il passo induttivo esisterebbe \(\delta\) tale che \( \xi + \delta \in I_{\varepsilon}\), contraddicendo il fatto che \(\xi \) ne è il sup.
Hai ragione, questa è una dimostrazione difficile. Ma tieni duro e vedrai che la capirai.
"dissonance":
Non ho proprio tempo di vedere i dettagli ora, quindi ti dico (IMHO) l'idea di quello che sta facendo. E' una specie di dimostrazione per induzione, ma in versione continua.
Il suo obiettivo è dimostrare \(b \in I_{\varepsilon}\). Lui sa che \(a \in I_{\varepsilon}\) (passo base) e ora sta dimostrando che \(c \in I_{\varepsilon} \Rightarrow c+\delta \in I_{\varepsilon}\) (passo induttivo). Fatto ciò lui passa a dimostrare che \(\xi=\sup I_{\varepsilon} \in I_{\varepsilon}\). Una volta fatto questo, ha finito: difatti, se per assurdo fosse \(\xi < b\), allora per il passo induttivo esisterebbe \(\delta\) tale che \( \xi + \delta \in I_{\varepsilon}\), contraddicendo il fatto che \(\xi \) ne è il sup.
Hai ragione, questa è una dimostrazione difficile. Ma tieni duro e vedrai che la capirai.
Ti ringrazio tanto.. cercherò di fare una dimostrazione seguendo il tuo ragionamento e la sua dimostrazione.. per quel che posso.
Grazie ancora.
Ma se io dico che:
Ovviamente una funzione per essere localmente integrabile in $[a,b]$ deve essere limitata ed è integrabile in $[a,b]$ se, e solo se, è integrabile in $[a,c]$ e in $[c,b]$ per ogni $c\in[a,b]$. Ma allora, se $c$ è un punto di discontinuità di prima specie, la funzione al massimo presenterà un salto, e allora
$\int_{a}^{b}f$ $(x) = \int_{a}^{c}f$ $(x) + \int_{c}^{b}f$ $(x)$ per il teorema di additività.
Non capisco il bisogno di dilungarsi così tanto..
Ovviamente una funzione per essere localmente integrabile in $[a,b]$ deve essere limitata ed è integrabile in $[a,b]$ se, e solo se, è integrabile in $[a,c]$ e in $[c,b]$ per ogni $c\in[a,b]$. Ma allora, se $c$ è un punto di discontinuità di prima specie, la funzione al massimo presenterà un salto, e allora
$\int_{a}^{b}f$ $(x) = \int_{a}^{c}f$ $(x) + \int_{c}^{b}f$ $(x)$ per il teorema di additività.
Non capisco il bisogno di dilungarsi così tanto..
E no, non è così semplice. I salti potrebbero essere più di uno, anche infiniti e eventualmente anche densi in \([a,b]\). Ci sono funzioni così e in quel caso non riesci a dare senso alla scrittura
\[\int_a^b f(x)\, dx\]
come hai fatto tu.
\[\int_a^b f(x)\, dx\]
come hai fatto tu.
Proverò allora a fare una dimostrazione ex-novo.. in caso stasera la pubblico qua.. Grazie tante ancora.
Se lui fa una dimostrazione per un punto $c$ qualsiasi, perchè non può prendere il punto $c = b - \delta$ così da semplificarsi la vita nella dimostrazione??
Allora.. diciamo che nel complesso se il professore me lo chiedesse, potrei abbozzare un'ipotetica dimostrazione, simile alla sua in certi versi.. ma ciò non significa che io abbia compreso appieno come e cosa voglia dimostrare.. Di questo sono molto deluso.. non tanto perchè potrei non avere il massimo del voto, tanto perchè non mi piace lasciare qualcosa in sospeso.
No, stai attento. Lui non dimostra nulla "per un punto \(c\) qualsiasi". E' come una dimostrazione per induzione: lui dimostra che, se \(c \in I_{\varepsilon}\), allora esiste \(\delta\) tale che \(c+\delta \in I_{\varepsilon}\).
PS: Riferito al tuo penultimo messaggio.
PS: Riferito al tuo penultimo messaggio.
"dissonance":
No, stai attento. Lui non dimostra nulla "per un punto \(c\) qualsiasi". E' come una dimostrazione per induzione: lui dimostra che, se \(c \in I_{\varepsilon}\), allora esiste \(\delta\) tale che \(c+\delta \in I_{\varepsilon}\).
PS: Riferito al tuo penultimo messaggio.
Hai ragione.. ho capito la differenza.. Perchè lui dice SE $c\inI_\epsilon$.. e non è detto che $b-\delta$ stia in $I_\epsilon$..
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