Circuitazione di un campo nello spazio

[ghezzi68v]

L'esercizio è il seguente :

Calcolare, mediante un opportuno integrale di superficie, l'integrale curvilineo

$int_(+del\C) x^3 dx + (x+y) dy + (x+y+z^2) dz $ , che per il teorema di Stokes è

$int int_\C < \text{rot}vecV , (n^+) > ds$ con $\vecV ( x , y , z ) = ( x^3 , x+y , x+y+z^2 )$

e $C={ ( x , y , z ) in RR^3 : x^2 +y^2 = 4 , z = 2( x + y ) }$

Quindi $C$ è la superficie descritta dal piano $z=2x +2y$ che "taglia" il cilindro $x^2 +y^2 = 4$

$\text{rot}vecV = ( 1 , -1 , 1 )$

Una parametrizzazione per la "fetta" di piano è $\sigma( u , v ) = ( u , v , 2(u+v) )$ ,

per $( u , v ) in D -> RR^3$, ma non riesco a determinare $D$

$\sigma_u = ( 1 , 0 , 2 )$

$\sigma_v = ( 0 , 1 , 2 )$ e quindi $\sigma_u ^^ \sigma_v = ( -2 , -2 , 1 )$

Quali intervalli mi conviene scegliere per gli estremi di integrazione? Non sono riuscito a descrivere la superficie con le cilindriche.

Da queste, $ 0 <= r <= 2$ e ponendo $0 <= z <= 4cos\theta + 4sen\theta$ ottengo $0 <= cos\theta + sen\theta$ ,

quindi $-sen\theta <= cos\theta$ se e solo se $ -pi/4 <= \theta <= \frac{3pi}{4}$

Vanno bene come intervalli di integrazione ?

Ringrazio in anticipo!

[stormy1]

ma se $C$ è la parte del piano racchiusa dal cilindro,$D$ è proprio il cerchio del piano $z=0$ delimitato dalla circonferenza $x^2+y^2=4$