Circuitazione di un Campo irrotazionale su Cammini equivalenti
Dato il Campo vettoriale:
$F=((2xz-y)/(x^2+y^2),(2yz+x)/(x^2+y^2),log(x^2+y^2))$
definito su: $Omega={(x,y,z): x^2+y^2!=0}$ (cioè lo SPAZIO privato dell'Asse z)
--> dunque $Omega$ NON è semplicemente connesso (perché ci sono infiniti punti di una retta nello spazio che ci impediscono di prendere una curva chiusa e farla collassare in 1 UNICO PUNTO)
E date le curve:
$gamma_1:r_1(t)=(3cost,3sint,e^(sin^2t)), t in [0,2pi]$
$gamma_2:r_2(t)=(cost,sint,0), t in[0,2pi]$
Possiamo costruirci una Curva chiusa $Gamma$ ottenuta "collegando" le due curve tramite due segmenti:
Ora, le due curve chiuse sono equivalenti perché "possiamo deformare con continuità l'una nell'altra, SENZA uscire dal Dominio $Omega$ del CAMPO"
Ora però , il libro suggerisce che:
"" $Gamma$ non avvolge l'Asse z""
""si può trovare un sottoinsieme di $Omega$ che sia SEMPLICEMENTE CONNESSO e che contenga quella Curva $Gamma$""
PROBLEMA: non riesco a visualizzare nessun sottoinsieme
Suggerimenti?
$F=((2xz-y)/(x^2+y^2),(2yz+x)/(x^2+y^2),log(x^2+y^2))$
definito su: $Omega={(x,y,z): x^2+y^2!=0}$ (cioè lo SPAZIO privato dell'Asse z)
--> dunque $Omega$ NON è semplicemente connesso (perché ci sono infiniti punti di una retta nello spazio che ci impediscono di prendere una curva chiusa e farla collassare in 1 UNICO PUNTO)
E date le curve:
$gamma_1:r_1(t)=(3cost,3sint,e^(sin^2t)), t in [0,2pi]$
$gamma_2:r_2(t)=(cost,sint,0), t in[0,2pi]$
Possiamo costruirci una Curva chiusa $Gamma$ ottenuta "collegando" le due curve tramite due segmenti:
Ora, le due curve chiuse sono equivalenti perché "possiamo deformare con continuità l'una nell'altra, SENZA uscire dal Dominio $Omega$ del CAMPO"
Ora però , il libro suggerisce che:
"" $Gamma$ non avvolge l'Asse z""
""si può trovare un sottoinsieme di $Omega$ che sia SEMPLICEMENTE CONNESSO e che contenga quella Curva $Gamma$""
PROBLEMA: non riesco a visualizzare nessun sottoinsieme
Suggerimenti?
Risposte
Mhhh. La seconda mi pare impossibile dato che l'ipotetico insieme semplicemente connesso $D$ dovrebbe contenere in particolare il sostegno di $\gamma_2$ (la circonferenza in basso) e avere intersezione vuota con l'asse $z$. Si dimostra con un po' di teoria del grado topologico che la $\gamma_2$ non si può deformare a una costante in nessun $D$ con tali proprietà.
Quanto scrivi peraltro mi lascia un po' perplesso perché non mi è chiaro come la costruzione della $\Gamma$ dimostri che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono deformabili una nell'altra (ma qui bisognerebbe scrivere la definizione). Quello che invece è vero è che la costruzione di $\Gamma$ permette di dire che gli integrali del campo su $\gamma_1$ e su $\gamma_2$ coincidono.
Per questo in effetti bisogna dimostrare che $\Gamma$ è contrattile, ma per farlo bisogna prima "scostare" tra loro la parte ascendente e la parte discendente del segmento che congiunge $\gamma_1$ a $\gamma_2$ - in effetti due segmenti della figura devono in realtà coincidere se vuoi costruire $\Gamma$. Dopo che hai deformato $\Gamma$ aprendo i due segmenti puoi ridurti a un sottoinsieme semplicemente connesso (togliendo il semipiano $\{x=0,y\geq0\}$).
Per la prima questione (che mi pare vera) dovresti dirci come è definito il fatto che $\Gamma$ non allaccia l'asse $z$.
Quanto scrivi peraltro mi lascia un po' perplesso perché non mi è chiaro come la costruzione della $\Gamma$ dimostri che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono deformabili una nell'altra (ma qui bisognerebbe scrivere la definizione). Quello che invece è vero è che la costruzione di $\Gamma$ permette di dire che gli integrali del campo su $\gamma_1$ e su $\gamma_2$ coincidono.
Per questo in effetti bisogna dimostrare che $\Gamma$ è contrattile, ma per farlo bisogna prima "scostare" tra loro la parte ascendente e la parte discendente del segmento che congiunge $\gamma_1$ a $\gamma_2$ - in effetti due segmenti della figura devono in realtà coincidere se vuoi costruire $\Gamma$. Dopo che hai deformato $\Gamma$ aprendo i due segmenti puoi ridurti a un sottoinsieme semplicemente connesso (togliendo il semipiano $\{x=0,y\geq0\}$).
Per la prima questione (che mi pare vera) dovresti dirci come è definito il fatto che $\Gamma$ non allaccia l'asse $z$.
"ViciousGoblin":
puoi ridurti a un sottoinsieme semplicemente connesso (togliendo il semipiano {x=0,y≥0}).
cioè un dominio $D$ che è {lo Spazio R3 , ma privato della parte "che sta alla destra dell'asse z" del piano y-z} ?
Cioè in pratica: togliere quel semipiano che "attraversa l'apertura dettata dai due segmenti"?
Ma così comunque avrei che : la curva non può essere deformata in 1 punto, senza uscire da $D$
"ViciousGoblin":
Per la prima questione (che mi pare vera) dovresti dirci come è definito il fatto che Γ non allaccia l'asse z.
In realtà , il testo dice "la figura mostra che"
Ho l'impressione che il libro "bari" un po' su questioni oggettivamente sottili.
Quello che dico è che:
(1) la curva $\Gamma$ mi pare venga definita (a) facendo un giro su $\gamma_1$, (b) andando su $\gamma_2$ lungo un segmento, (c) facendo un giro su $\gamma_2$ , (d) tornando su $\gamma_1$ ripercorrendo a ritroso il segmento. Dunque il sostegno di $\Gamma$ coincide con l'unione tra i sostegni di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ più il segmento (che viene percorso due volte, la seconda in verso opposto alla prima). In particolare la figura non rappresenta correttamente $\Gamma$, visto che nella figura sembra ci siano due segmenti paralleli distinti. Se è così non è possibile trovare $D$ semplicemente connesso tale che (il sostegno di ) $\Gamma$ sia contenuta in $D$.
(2) E' vero però che si può deformare $\Gamma$ a una $\tilde\Gamma$, rimanendo in $\mathbb{R}^3$ meno l'asse $z$, dove la $\tilde\Gamma$ è quella della figura, in cui i due pezzi dritti si separano ( e contemporaneamente si perde un pezzettino di $\gamma_1$ e $\gamma_2$). Questa $\tilde\Gamma$ in effetti viaggia dentro $\mathbb{R}^3$ meno un semipiano - insieme che è semplicemente connesso, e dunque $\tilde\Gamma$ è deformabile a un punto. Se metti insieme le due deformazioni ne ricavi che $\Gamma$ è deformabile a un punto in $\mathbb{R}^3$ meno l'asse $z$. Questo implica che gli integrali del campo
su $\gamma_1$ e quello su $\gamma_2$ coincidono.
(3) Rinnovo la mia perplessità sull'affermazione che mi sembra suggerita dal primo post e cioè che unendo le due curve nel modo indicato si possa ricavarne (in generale) che le due curve sono deformabili l'una nell'altra.
Quello che dico è che:
(1) la curva $\Gamma$ mi pare venga definita (a) facendo un giro su $\gamma_1$, (b) andando su $\gamma_2$ lungo un segmento, (c) facendo un giro su $\gamma_2$ , (d) tornando su $\gamma_1$ ripercorrendo a ritroso il segmento. Dunque il sostegno di $\Gamma$ coincide con l'unione tra i sostegni di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ più il segmento (che viene percorso due volte, la seconda in verso opposto alla prima). In particolare la figura non rappresenta correttamente $\Gamma$, visto che nella figura sembra ci siano due segmenti paralleli distinti. Se è così non è possibile trovare $D$ semplicemente connesso tale che (il sostegno di ) $\Gamma$ sia contenuta in $D$.
(2) E' vero però che si può deformare $\Gamma$ a una $\tilde\Gamma$, rimanendo in $\mathbb{R}^3$ meno l'asse $z$, dove la $\tilde\Gamma$ è quella della figura, in cui i due pezzi dritti si separano ( e contemporaneamente si perde un pezzettino di $\gamma_1$ e $\gamma_2$). Questa $\tilde\Gamma$ in effetti viaggia dentro $\mathbb{R}^3$ meno un semipiano - insieme che è semplicemente connesso, e dunque $\tilde\Gamma$ è deformabile a un punto. Se metti insieme le due deformazioni ne ricavi che $\Gamma$ è deformabile a un punto in $\mathbb{R}^3$ meno l'asse $z$. Questo implica che gli integrali del campo
su $\gamma_1$ e quello su $\gamma_2$ coincidono.
(3) Rinnovo la mia perplessità sull'affermazione che mi sembra suggerita dal primo post e cioè che unendo le due curve nel modo indicato si possa ricavarne (in generale) che le due curve sono deformabili l'una nell'altra.
Scusate se mi intrometto... E se il testo stesse suggerendo di considerare le curve $\gamma_{1,2}$ ristrette a $[epsilon, 2pi - epsilon]$ con $epsilon > 0$ "piccolo"?
In questo modo, si ottengono due curve aperte $gamma_1^epsilon$ e $gamma_2^epsilon$ le quali possono essere connesse da due segmenti in modo che la curva chiusa risultante dalla concatenazione è contenuta in un insieme semplicemente connesso ("a occhio", un diedro di origine l'asse $z$).
Poi, mandando $epsilon -> 0^+$...
In questo modo, si ottengono due curve aperte $gamma_1^epsilon$ e $gamma_2^epsilon$ le quali possono essere connesse da due segmenti in modo che la curva chiusa risultante dalla concatenazione è contenuta in un insieme semplicemente connesso ("a occhio", un diedro di origine l'asse $z$).
Poi, mandando $epsilon -> 0^+$...
"ViciousGoblin":
Dunque il sostegno di Γ coincide con l'unione tra i sostegni di γ1 e γ2 più il segmento (che viene percorso due volte, la seconda in verso opposto alla prima)
Chiaro, il segmento è unico, ma offre due contributi di segno opposto nel calcolo della circuitazione lungo $Gamma$
"ViciousGoblin":
R3 meno un semipiano - insieme che è semplicemente connesso
Qui ho difficoltà.
Nel senso che: visivamente , se provo a "ridurre ad 1 unico punto" una curva che "avvolge" l'asse z, ho che comunque quella curva va a comprimersi su dei punti dell' Asse z .
De cui deduco che: R3 meno un semipiano è un insieme NON semplicemente connesso.
Non è che potresti presentare un plot che " a seguito di una sequenza di contrazioni verso l'interno" di quella curva, mi conduce ad un punto che non sta nel semipiano rimosso??
"ViciousGoblin":
dunque Γ˜ è deformabile a un punto
Stesso problema.
Se io su quella Curva $ Γ˜$ effettuo delle contrazioni verso l'interno
oppure
ad ogni step contraggo in contemporanea "verso l'interno e cambiando di quota"
ho comunque che : il Punto finale a cui si arriva è un Punto che appartiene al Semipiano rimosso dallo spazio
e dunque ad un Punto che non appartiene al Dominio $D$
"gugo82":
("a occhio", un diedro di origine l'asse z)
Cioè tipo "portafoglio"?
Però dovremmo escludere il Punto di intersezione del diedro con l'Asse z, perché voglio che $Dsub Omega$ sia un sottoinsieme del Dominio del campo $F$ ed $F$ non è definito su nessuno di quei Punti. Giusto?
Su ognuna delle due facce vive una curva chiusa $gamma_1$ e $gamma_2$
Però , $gamma_1$ non ha tutti i punti alla stessa Quota, quindi ""non ci starebbe" in quel piano=faccia del diedro
"gugo82":
Scusate se mi intrometto... E se il testo stesse suggerendo di considerare le curve $\gamma_{1,2}$ ristrette a $[epsilon, 2pi - epsilon]$ con $epsilon > 0$ "piccolo"?
In questo modo, si ottengono due curve aperte $gamma_1^epsilon$ e $gamma_2^epsilon$ le quali possono essere connesse da due segmenti in modo che la curva chiusa risultante dalla concatenazione è contenuta in un insieme semplicemente connesso ("a occhio", un diedro di origine l'asse $z$).
Poi, mandando $epsilon -> 0^+$...
Ma certo. Quello che dici corrisponde a costruire la $\tilde\Gamma$ di cui parlo nell'altro messaggio. Però a leggere i messaggi dell'OP (
) il libro sembra dire che la $\Gamma$ (quella con $\epsilon=0$) vive in un sottoinsieme semplicemente connesso di $\mathbb{R}^3$., cosa che è falsa. Sembra poi dire che la $\Gamma$ non allaccia l'asse $z$, cosa che si può formalizzare ma non è banale...Nota anche che usando il tuo sistema con $\epsilon$ che varia tra $0$ e $\pi$ si può deformare $\Gamma$ a un segmento (antipodale a quello iniziale) percorso in avanti e all'indietro e che quest'ultimo segmento si può facilmente contrarre a un punto. Dunque ha una dimostrazione diretta che $\Gamma$ è contrattile.
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]Dunque il sostegno di Γ coincide con l'unione tra i sostegni di γ1 e γ2 più il segmento (che viene percorso due volte, la seconda in verso opposto alla prima)
Chiaro, il segmento è unico, ma offre due contributi di segno opposto nel calcolo della circuitazione lungo $Gamma$
[/quote]
D'accordo ma questo non ha nulla a che vedere col fatto che $\Gamma$ sia contenuta in un semplicemente connesso - questo, ribadisco, è falso per $\Gamma$ (mentre lè vero per delle deformate di $\Gamma$, che io chiamavo $\tilde\Gamma$, che sono costruite come dice Gugo82)
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"] R3 meno un semipiano - insieme che è semplicemente connesso
Qui ho difficoltà.
Nel senso che: visivamente , se provo a "ridurre ad 1 unico punto" una curva che "avvolge" l'asse z, ho che comunque quella curva va a comprimersi su dei punti dell' Asse z .
De cui deduco che: R3 meno un semipiano è un insieme NON semplicemente connesso.
Non è che potresti presentare un plot che " a seguito di una sequenza di contrazioni verso l'interno" di quella curva, mi conduce ad un punto che non sta nel semipiano rimosso??
"ViciousGoblin":
dunque Γ˜ è deformabile a un punto
Stesso problema.
Se io su quella Curva $ Γ˜$ effettuo delle contrazioni verso l'interno
oppure
ad ogni step contraggo in contemporanea "verso l'interno e cambiando di quota"
ho comunque che : il Punto finale a cui si arriva è un Punto che appartiene al Semipiano rimosso dallo spazio
e dunque ad un Punto che non appartiene al Dominio $D$[/quote]
$\mathbb{R}^3$ meno un sempiano è semplicemente connesso cosi come lo è $\mathbb{R}^2$ meno $\{(x,0)\, : \, x>0\}$.
Se vuoi te ne do la dimostrazione. Non ci sono curve che allacciano l'asse $z$ se togli un semipiano.
"ViciousGoblin":
lè vero per delle deformate di Γ, che io chiamavo Γ˜, che sono costruite come dice Gugo82
Cioè "nel limite di una distanza sempre più piccola tra i due segmenti"
(limite che li porta a fondersi in 1 unico segmento percorso due volte in versi opposti)
ho tante $ Γ˜$ contenute in un sottoinsieme di $Omega$ semplicemente connesso
"ViciousGoblin":
cosi come lo è R2 meno {(x,0),:,x>0}.
In R2 è banale, perché quell'insieme è il Semipiano alla sinistra dell'origine ,
che quindi può contenere curve chiuse deformabili con continuità in 1 punto .
"ViciousGoblin":
Non ci sono curve che allacciano l'asse z se togli un semipiano.
Questo perché la $Γ˜$ ha quello spazietto tra i due segmenti che le impedisce di "circondare completamente l'asse z" ?
"ViciousGoblin":
R3 meno un sempiano è semplicemente connesso cosi come lo è R2 meno {(x,0),:,x>0}.
Se vuoi te ne do la dimostrazione.
Potrei pensare ad una qualsiasi Curva chiusa nello spazio che ad es. si trova alla destra del semipiano rimosso , e lì riuscire a chiuderla su sé stessa , senza cadere nei "buchi" dovuti alla rimozione del semipiano .
Ma nel caso delle Curve $Γ˜$ , che è proprio "attraversata" da quel semipiano rimosso, non riesco proprio a visualizzare una contrazione che possa portarla in 1 punto che non è facente parte dei punti rimossi.
Quindi si ,mi servirebbe una dimostrazione "grafica"
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]lè vero per delle deformate di Γ, che io chiamavo Γ˜, che sono costruite come dice Gugo82
Cioè "nel limite di una distanza sempre più piccola tra i due segmenti"
(limite che li porta a fondersi in 1 unico segmento percorso due volte in versi opposti)
ho tante $ Γ˜$ contenute in un sottoinsieme di $Omega$ semplicemente connesso
[/quote]
Sì
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]cosi come lo è R2 meno {(x,0),:,x>0}.
In R2 è banale, perché quell'insieme è il Semipiano alla sinistra dell'origine ,
che quindi può contenere curve chiuse deformabili con continuità in 1 punto .
[/quote]
Non mi pare che quello che dici sua corretto, ma lo vediamo.
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]Non ci sono curve che allacciano l'asse z se togli un semipiano.
Questo perché la $Γ˜$ ha quello spazietto tra i due segmenti che le impedisce di "circondare completamente l'asse z" ?
[/quote]
Esatto!
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]R3 meno un sempiano è semplicemente connesso cosi come lo è R2 meno {(x,0),:,x>0}.
Se vuoi te ne do la dimostrazione.
Potrei pensare ad una qualsiasi Curva chiusa nello spazio che ad es. si trova alla destra del semipiano rimosso , e lì riuscire a chiuderla su sé stessa , senza cadere nei "buchi" dovuti alla rimozione del semipiano .
Ma nel caso delle Curve $Γ˜$ , che è proprio "attraversata" da quel semipiano rimosso, non riesco proprio a visualizzare una contrazione che possa portarla in 1 punto che non è facente parte dei punti rimossi.
Quindi si ,mi servirebbe una dimostrazione "grafica"[/quote]
Mi sembra che il modo più semplice sia il seguente. Cominciamo dal dimostrare che $F:=\mathbb{R}^2\setminus\{(x,0) : x\geq0\}$ è semplicemente connesso (mi accorgo ora che nel messaggio precedente avevo erroneamente scritto $\mathbb{R}^2\setminus\{(x,0) : x>0\}$). Per dimostrarlo dico che si può costruire una deformazione continua di $F$ in sé nella semiretta $S:=\{(x,0) : x<0\}$. Formalmente esiste una mappa continua $\Phi:F\times[0,1]\to F$ con le proprietà:
$\Phi(P,0)=P$ per ogni $P=(x,y)$ in $F$ e $Phi(P,1)\in S$.
Potrei scriverti analiticamente l'espressione di $\Phi$ ma credo che ti basti l'immagine che ti accludo che mostra come ogni punto $P=(x,y)$ di $F$ giri intorno all'origine e vada a finire nel punto $(-\sqrt{x^2+y^2},0)$. Forse hai già capito l'idea quando parlavi di "apertura a portafoglio - io dire a libro
).
A questo punto, dato che $S$ è un convesso puoi deformarlo a un suo punto, per esempio a $(-1,0)$ andando sui segmenti.
Se metti in serie le due deformazioni ottieni una $\Psi(P,t)$, $P\in F$ e $t$ in $[0,1]$, continua che per $t=0$ è l'identità e per
$t=1$ manda tutti i punti in $P_0=(-1,0)$.
Ora questa costruzione non parla di curve ma è abbastanza semplice mostrare che una qualunque curva chiusa $\gamma$ in
$F$ viene deformata tramite la $\Psi$ nel punto finale $P_0$. Formalmente costruisci l'omotopia
$H(s,t)=\Psi(\gamma(s),t)$ che per $t=0$ restituisce $\gamma(s)$ e per $t=1$ diventa $P_0$ per ogni $s$).
Questo conclude la dimostrazione.
Noi però volevamo dimostrare che $D:\mathbb{R}^3\setminus\{(x,0,z : x\geq0\}$ è semplicemente connesso. Non è molto diverso. Prima si costruisce una deformazione $\Phi_1$che manda ogni punto di $D$ nel semipiano $S:=\{(x,0,z) : x<0\}$, girando attorno all'asse $z$. Formalmente definisco $\Phi_1((x,y,z),t):=(\Phi((x,y),t),z)$. Poi sfruttando la convessità di $S$ lo si deforma sui segmenti a un suo punto $P_0$. In questo modo si trova una deformazione $\Psi$ di $D$, che "viaggia dentro $D$
e che traforma $D$ in un punto. Metto qualche scarabocchio
, sperando che ti serva... 
Usando $\Psi$ riesco in particolare a deformare una qualunque curva chiusa in $P_0$.
"CallistoBello":
Ma nel caso delle Curve $Γ˜$ , che è proprio "attraversata" da quel semipiano rimosso, non riesco proprio a visualizzare una contrazione che possa portarla in 1 punto che non è facente parte dei punti rimossi.
Quindi si ,mi servirebbe una dimostrazione "grafica"
La $\tilde\Gamma$ non è attraversata dal semipiano rimosso! Se hai quel piccolo spazio tra i due segmenti usi quello spazio per far passare il semipiano.
Comunque mi sono appena reso conto che la deformazione $\Psi$ si può fare in un colpo solo sui segmenti:
$\Psi(P,t):=P+t(P_0-P)$, dove $P_0=(-1,0,0)$. Si vede subito che se $P\in D$ anche $Psi(P,t)\in D$ per ogni $t\in[0,1]$.
$\Psi(P,t):=P+t(P_0-P)$, dove $P_0=(-1,0,0)$. Si vede subito che se $P\in D$ anche $Psi(P,t)\in D$ per ogni $t\in[0,1]$.
"ViciousGoblin":
Formalmente esiste una mappa continua Φ:F×[0,1]→F con le proprietà:
Φ(P,0)=P per ogni P=(x,y) in F e Φ(P,1)∈S.
Da quel che ho capito : non si parla di "deformazione di una curva" ma di "deformazione di un insieme".
Per "deformazione" si fa riferimento ad
"una legge che associa ad un punto di un insieme ->un punto di un suo sottoinsieme
(una Trasformazione\ cambio di coordinate ?? )
, tale per cui:
- Φ dipende non solo dal punto ma anche da un Parametro t
- per t=0 --> mi restituisce il Punto di partenza
- per t=1 --> la "Trasformazione" mi individua il corrispettivo Punto nel sottoinsieme
"ViciousGoblin":
dato che S è un convesso puoi deformarlo a un suo punto, per esempio a (−1,0) andando sui segmenti
Domanda: Vale la regola generale per cui:
<
"ViciousGoblin":
puoi deformarlo a un suo punto, per esempio a (−1,0) andando sui segmenti.
Se metti in serie le due deformazioni ottieni una Ψ(P,t), P∈F e t in [0,1], continua che per t=0 è l'identità e per
t=1 manda tutti i punti in P0=(−1,0).
Quindi abbiamo fatto una "composta" della Legge: $ Φ_1:F×[0,1]→F$ (trasformazione da D ad S)
con una Legge: $ Φ_2:Sx[0,1]→S$ (trasformazione da S a Punto)
ottenendo 1 unica Legge: $Ψ(P,t)$
"ViciousGoblin":
Metto qualche scarabocchio , sperando che ti serva...
Si , in pratica: "si proietta" ogni singolo punto dell'insieme su un suo sottoinsieme seguendo "quelle corrispondenze" (freccia)
e si continua a concatenare le deformazioni fino ad ottenere
"quella trasformazione che identifica ogni punto dell'insieme di partenza col sottoinsieme banale (il punto)"
"ViciousGoblin":
Usando Ψ riesco in particolare a deformare una qualunque curva chiusa in P0.
Perché "punto per punto" della Curva Chiusa (vista come un insieme di punti dell'insieme di partenza),
applichiamo quelle trasformazioni ?
Dunque (hai voluto la bicicletta... ). Ci sono alcune nozioni diverse che entrano in gioco. L'idea è di formalizzare il fatto che un insieme , diciamo un aperto $A$ di $\mathbb{R}^N$ "non ha buchi" . Il tutto è collegato al sapere quando vale la proprietà:
($\star$) ogni campo irrotazionale su $A$ è conservativo.
La condizione più debole che si può chiedere ad $A$ per avere ($\star$) è che $A$ sia semplicemente connesso. Questo si formalizza come segue:
(0) Due curve (continue) chiuse $\gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to A$ si dicono omotope (come curve chiuse in $A$) se esiste una mappa $H:[a,b]\times[0,1]\to A$ (detta omotopia) con le proprietà seguenti:
(a) $H$ è continua (nelle due variabili);
(b) $H(s,0)=\gamma_0(s)$ per ogni $s$ in $[a,b]$;
(c) $H(s,1)=\gamma_1(s)$ per ogni $s$ in $[a,b]$;
(d) $H(a,t)=H(b,t)$ per ogni $t$ in $[0,1]$.
Intuitivamente la $H$ permette di costruire un famiglia di curve $\gamma_t$ definite da $\gamma_t(s)=H(s,t)$ che variano con continuità, sono tutte chiuse (per la (d) ), partono da $\gamma_0$ e attivano a $\gamma_1$.
(1) $A$ si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa in $A$ è omotopa a una costante. Dunque esiste una $H$ come sopra per cui $H(s,1)=P_0$, per ogni $s$ in $[a,b]$, dove $P_0$ è un punto di $A$.
Come detto prima (1) implica ($\star$). C'è poi una nozione più forte che qui chiamerò deformabilità a un punto.
(2) Dico che $A$ è deformabile (in sé) a un punto se esiste una mappa $\Phi:A\times[0,1]\toA$ tale che
(a) $\Phi$ è continua (nelle due variabili);
(b) $\Phi(P,0)=P$ per ogni $P$ in $A$ (la $\Phi(\cdot,0)$ è l'identità);
(c) $\Phi(P,1)=P_0$ per ogni $P$ in $A$, dove $P_0$ è un punto di $A$.
E' facile vedere che se $A$ è deformabile a un suo punto allora $A$ è semplicemente connesso: data $\gamma$ basta definire $H(s,t)=\Phi(\gamma(s),t)$. Ma la (2) è più forte della (1). Si può dimostrare per esempio che la palla cava
$A:=\{P\in\mathbb{R}^3\ : 1<\|P\|<2}$
è semplicemente connessa ma non è deformabile a un punto. Intuitivamente la (1) chiede che non ci siano "buchi unidimensionali" mentre la (2) impedisce "buchi di qualsiasi dimensione". Nella palla cava $A$ tutte le curve chiuse si contraggono a un punto ma lo stesso non si può dire per le "superfici sferiche" contenute in $A$.
Un criterio semplice per avere che $A$ sia deformabile a un suo punto (e di conseguenza semplicemente connesso) è che $A$ sia stellato rispetto a un suo punto $P_0$
$A$ si dice stellato rispetto a $P_0\in A$ se per ogni $P$ in $A$ il segmento tra $P$ e $P_0$ è tutto contenuto in $A$
(cioè $P+t(P_0-P)\in A$ per ogni $t\in[0,1]$.
Nel caso di cui si parlava in cui $A=\mathbb{R}^3\setminus\{(x,0,z) : x\geq 0\}$, $A$ è effettivamente stellato (rispetto a un qualunque punto del "semipiano opposto" $\{(x,0,z) : x<0\}$).
L'ho fatta lunga...
). Ci sono alcune nozioni diverse che entrano in gioco. L'idea è di formalizzare il fatto che un insieme , diciamo un aperto $A$ di $\mathbb{R}^N$ "non ha buchi" . Il tutto è collegato al sapere quando vale la proprietà:($\star$) ogni campo irrotazionale su $A$ è conservativo.
La condizione più debole che si può chiedere ad $A$ per avere ($\star$) è che $A$ sia semplicemente connesso. Questo si formalizza come segue:
(0) Due curve (continue) chiuse $\gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to A$ si dicono omotope (come curve chiuse in $A$) se esiste una mappa $H:[a,b]\times[0,1]\to A$ (detta omotopia) con le proprietà seguenti:
(a) $H$ è continua (nelle due variabili);
(b) $H(s,0)=\gamma_0(s)$ per ogni $s$ in $[a,b]$;
(c) $H(s,1)=\gamma_1(s)$ per ogni $s$ in $[a,b]$;
(d) $H(a,t)=H(b,t)$ per ogni $t$ in $[0,1]$.
Intuitivamente la $H$ permette di costruire un famiglia di curve $\gamma_t$ definite da $\gamma_t(s)=H(s,t)$ che variano con continuità, sono tutte chiuse (per la (d) ), partono da $\gamma_0$ e attivano a $\gamma_1$.
(1) $A$ si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa in $A$ è omotopa a una costante. Dunque esiste una $H$ come sopra per cui $H(s,1)=P_0$, per ogni $s$ in $[a,b]$, dove $P_0$ è un punto di $A$.
Come detto prima (1) implica ($\star$). C'è poi una nozione più forte che qui chiamerò deformabilità a un punto.
(2) Dico che $A$ è deformabile (in sé) a un punto se esiste una mappa $\Phi:A\times[0,1]\toA$ tale che
(a) $\Phi$ è continua (nelle due variabili);
(b) $\Phi(P,0)=P$ per ogni $P$ in $A$ (la $\Phi(\cdot,0)$ è l'identità);
(c) $\Phi(P,1)=P_0$ per ogni $P$ in $A$, dove $P_0$ è un punto di $A$.
E' facile vedere che se $A$ è deformabile a un suo punto allora $A$ è semplicemente connesso: data $\gamma$ basta definire $H(s,t)=\Phi(\gamma(s),t)$. Ma la (2) è più forte della (1). Si può dimostrare per esempio che la palla cava
$A:=\{P\in\mathbb{R}^3\ : 1<\|P\|<2}$
è semplicemente connessa ma non è deformabile a un punto. Intuitivamente la (1) chiede che non ci siano "buchi unidimensionali" mentre la (2) impedisce "buchi di qualsiasi dimensione". Nella palla cava $A$ tutte le curve chiuse si contraggono a un punto ma lo stesso non si può dire per le "superfici sferiche" contenute in $A$.
Un criterio semplice per avere che $A$ sia deformabile a un suo punto (e di conseguenza semplicemente connesso) è che $A$ sia stellato rispetto a un suo punto $P_0$
$A$ si dice stellato rispetto a $P_0\in A$ se per ogni $P$ in $A$ il segmento tra $P$ e $P_0$ è tutto contenuto in $A$
(cioè $P+t(P_0-P)\in A$ per ogni $t\in[0,1]$.
Nel caso di cui si parlava in cui $A=\mathbb{R}^3\setminus\{(x,0,z) : x\geq 0\}$, $A$ è effettivamente stellato (rispetto a un qualunque punto del "semipiano opposto" $\{(x,0,z) : x<0\}$).
L'ho fatta lunga...
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