Circuitazione di un campo - Esercizio
Dato F(x,y,z)=(yz,xz,xy) lungo $ del (z<0, x^2 + y^2 + z^2 = 4, x^2 + y^2 = 1) $ devo calcolare la circuitazione.
Per piacere potreste darmi una mano a scrivere uno svolgimento rigoroso dell'esercizio?
So per ora che devo applicare il teorema di Stokes
Il successivo passaggio qual'è?
Per piacere potreste darmi una mano a scrivere uno svolgimento rigoroso dell'esercizio?
So per ora che devo applicare il teorema di Stokes
Il successivo passaggio qual'è?
Risposte
Non essendo specificato nel testo, suppongo sia orientata positivamente la circuitazione, ossia in verso antiorario. Tanto poi scopriremo che è ininfluente 
Dici che il tuo campo vettoriale è di classe C1 perchè composto di funzioni di classe C1 su tutto R^3 che quindi è un aperto e contiene la superficie suddetta.
Successivamente mostri che la tua superficie è regolare, trovando una parametrizzazione tale che le derivate esistono ovunque e che la sua matrice Jacobiana ha rango 2 in quasi tutti i punti.
Si tratta di una calotta sferica, una parametrizzazione facile è ad esempio $x=2sinthetacosphi;\ \y=2sinthetasinphi;\ \z=2costheta;\ \thetain[3/4pi,pi];\ \phiin[0,2pi]$.
Lascio a te le dimostrazioni precedenti.
Successivamente, trovi il verso dell'orientazione di questa superdicie, calcolando il vettore normale in un punto qualsiasi (il più facile è ovviamente (0,0,2) ), se fosse orientata negativamente ricorsa di mettere un segno meno davanti all'integrale.
A questo punto sono soddisfatte le ipotesi del teorema del rotore, quindi lo calcoli, e ti viene $0,0,0$ Da cui ne concludi che il campo è conservativo e quindi la suddetta circuitazione è 0.
In particolare il suo potenziale (cioè la primitiva della 1-forma ad esso associata) è $xyz+C,\ \Cinmathbb{R}$, funzione monodroma, e gli integrali risultano indipendenti dal cammino percorso.
Dici che il tuo campo vettoriale è di classe C1 perchè composto di funzioni di classe C1 su tutto R^3 che quindi è un aperto e contiene la superficie suddetta.
Successivamente mostri che la tua superficie è regolare, trovando una parametrizzazione tale che le derivate esistono ovunque e che la sua matrice Jacobiana ha rango 2 in quasi tutti i punti.
Si tratta di una calotta sferica, una parametrizzazione facile è ad esempio $x=2sinthetacosphi;\ \y=2sinthetasinphi;\ \z=2costheta;\ \thetain[3/4pi,pi];\ \phiin[0,2pi]$.
Lascio a te le dimostrazioni precedenti.
Successivamente, trovi il verso dell'orientazione di questa superdicie, calcolando il vettore normale in un punto qualsiasi (il più facile è ovviamente (0,0,2) ), se fosse orientata negativamente ricorsa di mettere un segno meno davanti all'integrale.
A questo punto sono soddisfatte le ipotesi del teorema del rotore, quindi lo calcoli, e ti viene $0,0,0$ Da cui ne concludi che il campo è conservativo e quindi la suddetta circuitazione è 0.
In particolare il suo potenziale (cioè la primitiva della 1-forma ad esso associata) è $xyz+C,\ \Cinmathbb{R}$, funzione monodroma, e gli integrali risultano indipendenti dal cammino percorso.
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