Circuitazione di un c. vettoriale lungo una curva
Ciao a tutti,
nella prova di analisi 2 che andrò a fare, probabilmente sarà richiesto di calcolare la circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva.
Vi posto un esercizio di "esempio":
Considerato il c. vettoriale $v(x,y) = (x-2y) / (2sqrt((x-y)^3)) i + x / (2sqrt((x-y)^3)) j$ e il segmento di equazione $x=-2y$, con $-1
Ho controllato prima che il campo fosse rotazionale, e lo è.
Quindi ho parametrizzato il segmento, quindi $[(y=t, x=-2t),$ con $-1
Fatto ciò, le ho integrate tra -1 e 0 in $dt$.
Vorrei specificare che le ho integrate così, senza aggiungere niente (soltanto sostituendo le variabili con il parametro) e soprattuto le ho integrate separatamente (prima quella che riguarda il versore i, poi quella del versore j). Quindi, alla fine ho sommato i risultati.
Ho sbagliato? Se sì, dove?
Grazie.
nella prova di analisi 2 che andrò a fare, probabilmente sarà richiesto di calcolare la circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva.
Vi posto un esercizio di "esempio":
Considerato il c. vettoriale $v(x,y) = (x-2y) / (2sqrt((x-y)^3)) i + x / (2sqrt((x-y)^3)) j$ e il segmento di equazione $x=-2y$, con $-1
Ho controllato prima che il campo fosse rotazionale, e lo è.
Quindi ho parametrizzato il segmento, quindi $[(y=t, x=-2t),$ con $-1
Fatto ciò, le ho integrate tra -1 e 0 in $dt$.
Vorrei specificare che le ho integrate così, senza aggiungere niente (soltanto sostituendo le variabili con il parametro) e soprattuto le ho integrate separatamente (prima quella che riguarda il versore i, poi quella del versore j). Quindi, alla fine ho sommato i risultati.
Ho sbagliato? Se sì, dove?
Grazie.
Risposte
se non è irrotazionale (e quindi la forma non è esatta), l'unico modo per trovare il lavoro era quello che hai seguito. mi pare vada bene.
[edit] spero ti sia ricalcolato anche i differenziali negli integrali..
[edit] spero ti sia ricalcolato anche i differenziali negli integrali..
Dal Marcellini Sbordone:
Ciò che mi domando ora è:
Ho sbagliato quindi a fare l'integrale "secco" della componente del campo vettoriale, con al posto di x e y le componenti della curva parametrizzata?
Posto che prendo la componente del campo vettoriale (quindi prima la componente della $i$, poi quella della $j$), ci sostituisco alle x e y le varie t della curva parametrizzata, moltiplico tutto per la radice delle derivate delle componenti della curva parametrizzata al quadrato..
Poi, che devo fare?
Una volta che ho fatto questi due integrali, devo sommare i due risultati?
Qual è la circuitazione?
Grazie a tutti.
Ciò che mi domando ora è:
Ho sbagliato quindi a fare l'integrale "secco" della componente del campo vettoriale, con al posto di x e y le componenti della curva parametrizzata?
Posto che prendo la componente del campo vettoriale (quindi prima la componente della $i$, poi quella della $j$), ci sostituisco alle x e y le varie t della curva parametrizzata, moltiplico tutto per la radice delle derivate delle componenti della curva parametrizzata al quadrato..
Poi, che devo fare?
Una volta che ho fatto questi due integrali, devo sommare i due risultati?
Qual è la circuitazione?
Grazie a tutti.
Se per differenziale intendi "radice di ecc ecc", sì; l'ho aggiunto dopo!
Quello che mi chiedo a questo punto, avendo questi due "numeri" per le mani (che sarebbero i risultati degli integrali).. che farne?
Grazie.
Quello che mi chiedo a questo punto, avendo questi due "numeri" per le mani (che sarebbero i risultati degli integrali).. che farne?
Grazie.
Devi integrare il prodotto scalare tra il vettore campo vettoriale e il vettore che rappresenta il percorso !
Come puoi parlare di circuitazione se ti riferisci a un segmento e non a un percorso chiuso ?
Come puoi parlare di circuitazione se ti riferisci a un segmento e non a un percorso chiuso ?
Camillo, quest'obiezione è sorta anche al mio amico ingegnere a cui ho chiesto informazioni a riguardo.
Mi dispiace, non so che dirti: ho una prova d'esame davanti ai miei occhi e ti assicuro che è esattamente quello che chiede: la circuitazione lungo un segmento d'equazione bla bla bla...
Se non mi credi faccio una scansione alla prova e te la mostro!
Ps: in materia di "campi vettoriali" sono peggio di una capra, se potessi spiegarmi in parole più "semplici" ciò che hai scritto nel primo rigo te ne serai assai assai grato.
Mi dispiace, non so che dirti: ho una prova d'esame davanti ai miei occhi e ti assicuro che è esattamente quello che chiede: la circuitazione lungo un segmento d'equazione bla bla bla...
Se non mi credi faccio una scansione alla prova e te la mostro!
Ps: in materia di "campi vettoriali" sono peggio di una capra, se potessi spiegarmi in parole più "semplici" ciò che hai scritto nel primo rigo te ne serai assai assai grato.
Faccio un esempio :
Si consideri il campo di velocità piano $vec v = -y veci +x vec j =(-y,x)$.
Calcolare la circuitazione di $vec v $ lungo la circonferenza di raggio $ 1 $ e centro l'origine, percorsa in verso antiorario.
Parametrizzo la crf con $ vec r(t) = (cos t, sin t ) ; t in [0, 2pi] $ ; quindi $vecr'(t)= (-sint, cos t ) $
La circuitazione, cioè il lavoro compiuto dal vettore $vecv $ muovendosi lungo la crf è dato da $L =oint_(crf) vec v *dvec r=int_0^(2pi)(-y(t),x(t))*(x'(t),y'(t))dt= int_0^(2pi)[-y(t)x'(t)+x(t)y'(t)]dt = int_0^(2pi)(-sint (-sint)+cost (cost)dt)=int_0^(2pi)dt=2pi$.
Nota bene : $vec v *dvec r$ significa prodotto scalare tra i vettori $vec v $ e $ d vec r$ essendo $dvec r = (x'(t),y'(t))dt $.
Si consideri il campo di velocità piano $vec v = -y veci +x vec j =(-y,x)$.
Calcolare la circuitazione di $vec v $ lungo la circonferenza di raggio $ 1 $ e centro l'origine, percorsa in verso antiorario.
Parametrizzo la crf con $ vec r(t) = (cos t, sin t ) ; t in [0, 2pi] $ ; quindi $vecr'(t)= (-sint, cos t ) $
La circuitazione, cioè il lavoro compiuto dal vettore $vecv $ muovendosi lungo la crf è dato da $L =oint_(crf) vec v *dvec r=int_0^(2pi)(-y(t),x(t))*(x'(t),y'(t))dt= int_0^(2pi)[-y(t)x'(t)+x(t)y'(t)]dt = int_0^(2pi)(-sint (-sint)+cost (cost)dt)=int_0^(2pi)dt=2pi$.
Nota bene : $vec v *dvec r$ significa prodotto scalare tra i vettori $vec v $ e $ d vec r$ essendo $dvec r = (x'(t),y'(t))dt $.
possibile che il segmento [a,b] debba essere percorso prima da a a b e poi da b ad a?
comunque quella è la definizione di integrale curvilineo di prima specie, mentre quella che ti interessa è dell'integrale curvilineo di seconda specie (a patto di avere una curva regolare sono comunque equivalenti)
comunque quella è la definizione di integrale curvilineo di prima specie, mentre quella che ti interessa è dell'integrale curvilineo di seconda specie (a patto di avere una curva regolare sono comunque equivalenti)
Grazie mille ragazzi, siete stati illuminanti!!
Ho un'ultima domanda per Camillo: quando vai ad inserire il campo vettoriale "parametrizzato" all'interno dell'integrale, hai tenuto conto del determinante Jacobiano?? Capisco che in questo caso sarebbe stato 1, ma in genere possiamo assumerlo come "raggio della circonferenza", e nel caso in cui questa non avesse raggio 1, sarebbe stato da moltiplicare nell'integrale??
Grazie ancora.
Ho un'ultima domanda per Camillo: quando vai ad inserire il campo vettoriale "parametrizzato" all'interno dell'integrale, hai tenuto conto del determinante Jacobiano?? Capisco che in questo caso sarebbe stato 1, ma in genere possiamo assumerlo come "raggio della circonferenza", e nel caso in cui questa non avesse raggio 1, sarebbe stato da moltiplicare nell'integrale??
Grazie ancora.
Se la crf su cui integrare fosse stata di raggio 2 allora la parametrizzazione della curva sarebbe stata semplicemente $(2cos t, 2 sin t )$ sempre con $ t in [0, 2pi] $.
Quindi niente Jacobiano.
Grazie mille, sei stato veramente gentile.
Ti devo una birra!!
Grazie mille, sei stato veramente gentile.
Ti devo una birra!!
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