Circuitazione campo vettoriale su curva generata da intersezione.
Salve ragazzi, sono consapevole che questa sarà una delle domande che non troverà risposta (perché troppo lunga), ma perderò un pò di tempo lo stesso a postare perchè la speranza è l'ultima a morire. 
Testo esercizio:
Calcolare la circuitazione del campo vettoriale $F(x, y, z) = (y, -x, z^2)$ lungo la
curva intersezione della super cie $z = y^2$ e del cilindro $x^2 + y^2 = 4$, orientata in
modo che la sua proiezione sul piano xy sia percorsa in senso antiorario.
Tentativo di risolzione.
Innanzitutto ho cercato di trovare questa benedetta curva d'intersezione in questo modo:
${ ( x^2+y^2=4 ),( z=y^2 ):}$ (dopo banali calcoli)
${ ( x^2+y^2=4 ),( z=4-x^2 ):}$
A questo punto passo a coordinate cilindriche per parametrizzare la curva ottenendo
$ gamma (t) = ( 2cos(t),2sen(t),4-4cos^2(t)) t in [ 0, 2pi ]$
Primo dubbio: ma quest'intersezione è una curva chiusa? Decido di continuare supponendo che lo sia.
Calcolo la circuitazione $ int_(0)^(2pi) F(gamma(t))*gamma'(t) dt $ con $ gamma'(t) (-2sen(t),2cos(t),8cos(t)sen(t)) $
e $ F(gamma(t))= (2sen(t),-2cos(t),64cos^2(t)sen^2(t)) $
Faccio un paio di calcoletti ritrovandomi(spero giusti):
$ -4int_(0)^(2pi)dt + 512int_(0)^(2pi) cos^3(t)sen^3(t)dt= -8pi $
la curva è chiusa? Se sì, ho calcolato bene la circuitazione? Se no, come avrei dovuto fare? Ringrazio di cuori chiunque si cimenti in questo brutto esercizio.
Testo esercizio:
Calcolare la circuitazione del campo vettoriale $F(x, y, z) = (y, -x, z^2)$ lungo la
curva intersezione della super cie $z = y^2$ e del cilindro $x^2 + y^2 = 4$, orientata in
modo che la sua proiezione sul piano xy sia percorsa in senso antiorario.
Tentativo di risolzione.
Innanzitutto ho cercato di trovare questa benedetta curva d'intersezione in questo modo:
${ ( x^2+y^2=4 ),( z=y^2 ):}$ (dopo banali calcoli)
${ ( x^2+y^2=4 ),( z=4-x^2 ):}$
A questo punto passo a coordinate cilindriche per parametrizzare la curva ottenendo
$ gamma (t) = ( 2cos(t),2sen(t),4-4cos^2(t)) t in [ 0, 2pi ]$
Primo dubbio: ma quest'intersezione è una curva chiusa? Decido di continuare supponendo che lo sia.
Calcolo la circuitazione $ int_(0)^(2pi) F(gamma(t))*gamma'(t) dt $ con $ gamma'(t) (-2sen(t),2cos(t),8cos(t)sen(t)) $
e $ F(gamma(t))= (2sen(t),-2cos(t),64cos^2(t)sen^2(t)) $
Faccio un paio di calcoletti ritrovandomi(spero giusti):
$ -4int_(0)^(2pi)dt + 512int_(0)^(2pi) cos^3(t)sen^3(t)dt= -8pi $
la curva è chiusa? Se sì, ho calcolato bene la circuitazione? Se no, come avrei dovuto fare? Ringrazio di cuori chiunque si cimenti in questo brutto esercizio.
Risposte
"TheAnswer93":
ma quest'intersezione è una curva chiusa?
$gamma(0)=gamma(2pi)$; quindi..
per il resto,mi sembra tutto giusto
Grazie stormy!
Mi hai dato un modo semplicissimo per capire se una curva è chiusa! E' una cosa banalissima, ma mi distruggevo il cervello sempre cercando di immaginare l'intersezione!
Mi hai dato un modo semplicissimo per capire se una curva è chiusa! E' una cosa banalissima, ma mi distruggevo il cervello sempre cercando di immaginare l'intersezione!
ciao una domanda: come mai per descrivere la curva di intersezione sei passato a coord. cilindriche? grazie
una domanda: come mai per descrivere la curva di intersezione sei passato a coord. cilindriche? grazie
mi spiego meglio: la curva $ z = 4 - x^2 $ non dovrebbe avere parametrizzazione $ (t,0,4-t^2) $ ? grazie 
Se la parametrizzi come hai scritto, stai supponendo che si trovi nel piano $y=0$, il che non è vero. Per parametrizzare una curva ottenuta come intersezione di due superfici in forma cartesiana $f(x,y,z)=0,\ g(x,y,z)=0$ conviene sempre parametrizzare queste due attraverso delle coordinate di superficie, cioè trovare $x=x(u,v),\ y=(u,v),\ z=(u,v)$ e, dopo aver fatto questo, andare a ricavare $u$ o $v$ dall'una e sostituirla nell'altra.
Ciao Ciampax, nonostante tu sia stato molto discorsivo, non ho capito (limite mio) come dovrei parametrizzare. Ti chiedo molto se ti chiedo di farmi vedere cosa dovrei fare?
Quello che hai fatto: usando le coordinate cilindriche per entrambe le superfici (cilindro e quella specie di "paraboloide") si ottiene
$$\rho^2=4,\qquad z=rho^2\sin^2 t$$
Dalla prima si ricava che $\rho=2$ e quindi che $z=4\sin^2 t$. Dal momento che $x=2\cos t,\ y=2\sin t$ la curva risulta
$$(2\cos t,2\sin t,4\sin^2 t)$$
$$\rho^2=4,\qquad z=rho^2\sin^2 t$$
Dalla prima si ricava che $\rho=2$ e quindi che $z=4\sin^2 t$. Dal momento che $x=2\cos t,\ y=2\sin t$ la curva risulta
$$(2\cos t,2\sin t,4\sin^2 t)$$
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