Circuitazione campo vettoriale
Ciao,non riesco a risolvere questo esercizio a causa degli estremi. Calcolare la circuitazione del campo vettoriale
V(x,y)=(x-y)i+xj lungo l'arco di parabola di rappresentazione parametrica p(t)=(-t^2,t) con t che appartiene [0,2] di primo estremo (0,0) e secondo estremo (-4,2). Grazie per eventuali risposte
V(x,y)=(x-y)i+xj lungo l'arco di parabola di rappresentazione parametrica p(t)=(-t^2,t) con t che appartiene [0,2] di primo estremo (0,0) e secondo estremo (-4,2). Grazie per eventuali risposte
Risposte
Il campo vettoriale e' caratterizzato dalle due componenti...
$f_{x} (x,y) = x - y$
$f_{y} (x,y) = x$ (1)
Condizione sufficiente perche' un campo sia conservativo e' che, nella regione in cui e' definito, $f_{x} (*,*)$ e $f_{y}(*,*)$ siano continue insieme alle loro derivate del primo ordine e che sia...
$\frac {\partial f_{x}}{\partial y} + \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = 0$ (2)
Tra le proprieta' di un campo conservativo vi e' quella che l'integrale di linea fra di punti $[x_{0}, y_{0}]$ e $[x_{1}, y_{1}]$ e' indipendente dal percorso che connette i due punti. Nel nostra caso e' $\frac {\partial f_{x}}{\partial y}= -1$ e $\frac{\partial f_{y}}{\partial x}=1$ per cui il campo e' conservativo ovunque. Pertanto nulla vieta di scegliere come percorso dal punto [0,0] al punto [-4,2] un tratto lungo l'asse x seguito da un tratto lungo l'asse y ottenendo...
$C= \int_{0}^{-4} x \ dx - \int_{0}^{2} 4 dy = 0$ (3)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$f_{x} (x,y) = x - y$
$f_{y} (x,y) = x$ (1)
Condizione sufficiente perche' un campo sia conservativo e' che, nella regione in cui e' definito, $f_{x} (*,*)$ e $f_{y}(*,*)$ siano continue insieme alle loro derivate del primo ordine e che sia...
$\frac {\partial f_{x}}{\partial y} + \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = 0$ (2)
Tra le proprieta' di un campo conservativo vi e' quella che l'integrale di linea fra di punti $[x_{0}, y_{0}]$ e $[x_{1}, y_{1}]$ e' indipendente dal percorso che connette i due punti. Nel nostra caso e' $\frac {\partial f_{x}}{\partial y}= -1$ e $\frac{\partial f_{y}}{\partial x}=1$ per cui il campo e' conservativo ovunque. Pertanto nulla vieta di scegliere come percorso dal punto [0,0] al punto [-4,2] un tratto lungo l'asse x seguito da un tratto lungo l'asse y ottenendo...
$C= \int_{0}^{-4} x \ dx - \int_{0}^{2} 4 dy = 0$ (3)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Vorrei capire il (3) come viene costruito, ovvero perchè si fa $\int x dx$ mentre lungo il tratto y semplicemente $\int dy$ ?
grazie
grazie
Dunque, 'a parole' diciamo che si parte dal punto [0,0] e si integra procedendo lungo l'asse x [quindi e' y=0...] fino al punto [-4,0]...
$\int_{0}^{-4} x\ dx =8$
... e poi si integra dal punto [-4,0] con x costante [quindi x=-4...] fino al punto [-4,2]...
$-4\ \int_{0}^{2} dy = -8$
La somma dei due integrali da' zero...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\int_{0}^{-4} x\ dx =8$
... e poi si integra dal punto [-4,0] con x costante [quindi x=-4...] fino al punto [-4,2]...
$-4\ \int_{0}^{2} dy = -8$
La somma dei due integrali da' zero...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Visto così geometricamente parlando è davvero facile
grazie.
Chiedo se la condizione di conservatività mi faccia già capire che la circuitazione deve essere nulla (nel senso se fosse stato diverso da 0 avrei sbagliato qualcosa io...)
grazie.
Chiedo se la condizione di conservatività mi faccia già capire che la circuitazione deve essere nulla (nel senso se fosse stato diverso da 0 avrei sbagliato qualcosa io...)
"ludwigZero":
Visto così geometricamente parlando è davvero facile
grazie.
Chiedo se la condizione di conservatività mi faccia già capire che la circuitazione deve essere nulla (nel senso se fosse stato diverso da 0 avrei sbagliato qualcosa io...)
Se il campo e' conservativo l'integrale di linea e' zero lungo qualsiasi percorso chiuso. Nel nostro caso il percorso non e' chiuso e il fatto che l'integrale sia zero e' solo un caso...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Chiedo scusa se mi intrometto, ma non concordo con \( \chi \sigma \) circa la conservatività del campo vettoriale in questione. In effetti, nel caso il campo sia definito in un aperto semplicemente connesso (quale è in effetti il nostro caso, essendo il campo vettoriale ben definito in tutto il piano), una condizione sufficiente affinché esso sia conservativo è che sia di classe \( C^1 \) e che sia irrotazionale. Ebbene, la condizione di irrotazionalità è espressa dalla identità
\[ \frac{\partial f_x}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial x} \equiv 0, \]
che nel nostro caso non è soddisfatta. Quindi, il campo non è conservativo, e il lavoro va calcolato "a mano" svolgendo l'integrale di linea. Peraltro, detto integrale è piuttosto semplice, e il risultato dovrebbe essere
\[ W = \frac{32}{3}. \]
Cordiali saluti.
\[ \frac{\partial f_x}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial x} \equiv 0, \]
che nel nostro caso non è soddisfatta. Quindi, il campo non è conservativo, e il lavoro va calcolato "a mano" svolgendo l'integrale di linea. Peraltro, detto integrale è piuttosto semplice, e il risultato dovrebbe essere
\[ W = \frac{32}{3}. \]
Cordiali saluti.
"s.stuv":
Chiedo scusa se mi intrometto, ma non concordo con \( \chi \sigma \) circa la conservatività del campo vettoriale in questione. In effetti, nel caso il campo sia definito in un aperto semplicemente connesso (quale è in effetti il nostro caso, essendo il campo vettoriale ben definito in tutto il piano), una condizione sufficiente affinché esso sia conservativo è che sia di classe \( C^1 \) e che sia irrotazionale. Ebbene, la condizione di irrotazionalità è espressa dalla identità
\[ \frac{\partial f_x}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial x} \equiv 0, \]
che nel nostro caso non è soddisfatta. Quindi, il campo non è conservativo, e il lavoro va calcolato "a mano" svolgendo l'integrale di linea. Peraltro, detto integrale è piuttosto semplice, e il risultato dovrebbe essere
\[ W = \frac{32}{3}. \]
Cordiali saluti.
Puo' darsi che abbia commesso qualche errore veramente banale per cui e' meglio verificare...
$f_{x} (x,y) = x-y \implies \frac{\partial f_{x}}{\partial y} = -1$
$f_{y} (x,y) = x \implies \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = 1$
E quindi non e' verificata la condizione...
$\frac{\partial f_{x}}{\partial y} - \frac{\partial f_{y}}{\partial x} =0$
Chiedo scusa ragazzi!
... cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ho vivo ancora oggi il ricordo della mia 'professoressa di mat' delle scuole medie la quale non perdeva occasione di ricordare che : 'tutti gli errori di segno sono errori gravi'...
... io sono incappato proprio in un 'errore di segno' perche' ho scritto un - al posto di un +... fortuna che al tempo in cui ero alla scuola media le punizioni corporali erano state abolite da tempo!
...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
... io sono incappato proprio in un 'errore di segno' perche' ho scritto un - al posto di un +... fortuna che al tempo in cui ero alla scuola media le punizioni corporali erano state abolite da tempo!
... cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Capita ai migliori, non c'è nulla da perdonare, figuriamoci! 
Piuttosto, è importante che l'utente che ha posto il quesito ci faccia sapere se ha chiara la risoluzione dell'esercizio. Altrimenti, siamo qua per dettagliare i passaggi un po' di più
Piuttosto, è importante che l'utente che ha posto il quesito ci faccia sapere se ha chiara la risoluzione dell'esercizio. Altrimenti, siamo qua per dettagliare i passaggi un po' di più
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