Circonferenza in Q^2
ho questo esercizio che non riesco a risolvere, ma non so da che libro provenga (mi è stato detto a voce).
si tratta dei punti razionali della circonferenza di raggio 1 centrata in 0, quindi ovviamente è infinito perché infinite sono le terne pitagoriche (che poi normalizziamo).
per ora so che ci sono almeno 4 punti di accumulazione (a grandi linee: ci sono infiniti punti -> c'è almeno 1 punto di accumulazione, ci sono le simmetrie -> ce ne sono almeno 4), ma non so quali siano. ragionevolmente potrebbero essere anche tutti i punti della stessa circonferenza a coordinate reali.
stavo provando a costruire una successione di razionali che convergesse a qualcosa, ma mi risulta complicato.
sempre a voce, mi è stato detto di considerare il problema di una circonferenza centrata in un qualsiasi punto con raggio qualsiasi.
come potrei fare?
quali sono i punti di accumulazione dell'insieme \(I=\{x,y\in\mathbb Q|x^2+y^2=1\}\)?
si tratta dei punti razionali della circonferenza di raggio 1 centrata in 0, quindi ovviamente è infinito perché infinite sono le terne pitagoriche (che poi normalizziamo).
per ora so che ci sono almeno 4 punti di accumulazione (a grandi linee: ci sono infiniti punti -> c'è almeno 1 punto di accumulazione, ci sono le simmetrie -> ce ne sono almeno 4), ma non so quali siano. ragionevolmente potrebbero essere anche tutti i punti della stessa circonferenza a coordinate reali.
stavo provando a costruire una successione di razionali che convergesse a qualcosa, ma mi risulta complicato.
sempre a voce, mi è stato detto di considerare il problema di una circonferenza centrata in un qualsiasi punto con raggio qualsiasi.
come potrei fare?
Risposte
L'insieme $I$ potrebbe essere questo? $I = { (x , y) in QQ^2 | x^2 + y^2 = 1}$ ?
Direi comunque che l'insieme dei punti di accumulazione è $D(I) = { (x , y) in RR^2 | x^2 + y^2 = 1}$...
Devi ragionare sulla densità dei razionali nei reali...
Direi comunque che l'insieme dei punti di accumulazione è $D(I) = { (x , y) in RR^2 | x^2 + y^2 = 1}$...
Devi ragionare sulla densità dei razionali nei reali...
hai ragione, ho scritto male l'insieme.
comunque fino a "i razionali sono densi in \(\mathbb R\)" c'ero arrivato. puoi mica essere più specifico?
comunque fino a "i razionali sono densi in \(\mathbb R\)" c'ero arrivato. puoi mica essere più specifico?
Prendi un generico punto $P(x,y)$ dell'insieme $D(I)$ che ti ho scritto nel post precedente. Per verificare che $D(I)$ è il derivato di $I$ (cioè l'insieme dei punti di accumulazione di punti di $I$) basta osservare che, comunque preso un cerchietto centrato in $P$ e di raggio $r$, all'interno di questo cadono punti di $I$.
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