Chiusura (e interno) di un insieme convesso
Non mi pare cosa difficile da dimostrarsi; eppure non mi sono ancora venute idee decenti.
Mi viene chiesto di provare che se \(\displaystyle A \subset \mathbb{R}^n \) è un insieme convesso, allora anche la chiusura \(\displaystyle \bar{A} \) è l'interno \(\displaystyle \text{int}(A) \) sono convessi.
Qualche suggerimento?
Ringrazio.
Mi viene chiesto di provare che se \(\displaystyle A \subset \mathbb{R}^n \) è un insieme convesso, allora anche la chiusura \(\displaystyle \bar{A} \) è l'interno \(\displaystyle \text{int}(A) \) sono convessi.
Qualche suggerimento?
Ringrazio.
Risposte
Per quanto riguarda la convessità di \(\overline{A}\) non dovresti avere grossi problemi: dati due punti \(x,y\in\overline{A}\), sai che esistono \((x_j), (y_j)\subset A\) tali che \(x_j\to x\), \(y_j\to y\), e inoltre sai che per ogni \(j\) il segmento \([x_j, y_j]\) è contenuto in \(A\), o se preferisci \((1-t) x_j + t y_j\in A\) per ogni \(t\in [0,1]\) e per ogni \(j\in \mathbb{N}\).
Per quanto riguarda la convessità di \(\text{int} A\) può essere utile osservare preliminarmente che, se \(x\in\text{int} A\) e \(y\in \overline{A}\), allora \([x,y)\subset \text{int}(A)\), dove
\[
[x,y) := \{(1-t)x + ty:\ t\in [0, 1)\}.
\]
Per quanto riguarda la convessità di \(\text{int} A\) può essere utile osservare preliminarmente che, se \(x\in\text{int} A\) e \(y\in \overline{A}\), allora \([x,y)\subset \text{int}(A)\), dove
\[
[x,y) := \{(1-t)x + ty:\ t\in [0, 1)\}.
\]
Grazie Rigel. Sulla chiusura ci sono, mentre invece ho ancora problemi a visualizzare la questione per l'interno...
Assumiamo che tu abbia dimostrato la proprietà che ho citato.
Prendi \(x,y\in \text{int} A\). In particolare \(y\in \overline{A}\), dunque \([x,y)\subset\text{int} A\). Dal momento che anche \(y\in\text{int} A\), concludi che \([x,y]\subset\text{int} A\).
Prendi \(x,y\in \text{int} A\). In particolare \(y\in \overline{A}\), dunque \([x,y)\subset\text{int} A\). Dal momento che anche \(y\in\text{int} A\), concludi che \([x,y]\subset\text{int} A\).
@Delirium.
Un alternativa(certamente equivalente a quella di Rigel o subordinata ad essa
),ad occhio,
è lavorare con metodi analitici(leggi disequazioni..)sulle componenti d'un arbitrario $overline(z) in[overline(x),overline(y)]$
(con $overline(x),overline(y)$ fissati a piacere in $"int"(A)$..),
lasciandosi suggerire,da un'ovvia rappresentazione del problema nel caso $n=2$,
un raggio $r_(overline(z))$ opportuno che lasci $I(overline(z),r_(overline(z)))$ tutto contenuto nell'insieme A:
dovrebbe essere utile,per tale verifica non geometrica,
proprio l'ipotizzata convessità di $A$ e due raggi $r_(overline(x)),r_(overline(y))in RR^+" t.c. "I(overline(x),r_(overline(x)))sube A,I(overline(y),r_(overline(y)))sube A$
(non per forza tali raggi son distinti,ma certo esistono..)dai quali far balzar fuori un $r_(overline(z))$ "buono"..
Appena posso ci rifletto carta e penna in mano,e nel caso edito(per un si o per un no,la voglio dire alla P.Levi..):
saluti dal web.
Un alternativa(certamente equivalente a quella di Rigel o subordinata ad essa
),ad occhio,è lavorare con metodi analitici(leggi disequazioni..)sulle componenti d'un arbitrario $overline(z) in[overline(x),overline(y)]$
(con $overline(x),overline(y)$ fissati a piacere in $"int"(A)$..),
lasciandosi suggerire,da un'ovvia rappresentazione del problema nel caso $n=2$,
un raggio $r_(overline(z))$ opportuno che lasci $I(overline(z),r_(overline(z)))$ tutto contenuto nell'insieme A:
dovrebbe essere utile,per tale verifica non geometrica,
proprio l'ipotizzata convessità di $A$ e due raggi $r_(overline(x)),r_(overline(y))in RR^+" t.c. "I(overline(x),r_(overline(x)))sube A,I(overline(y),r_(overline(y)))sube A$
(non per forza tali raggi son distinti,ma certo esistono..)dai quali far balzar fuori un $r_(overline(z))$ "buono"..
Appena posso ci rifletto carta e penna in mano,e nel caso edito(per un si o per un no,la voglio dire alla P.Levi..):
saluti dal web.
Proseguendo sul solco del ragionamento e della simbologia che avevo abbozzato in precedenza,
mi pare che tutto funzionerebbe se riuscissi a provare che,fissato a piacere $r_(overline(z)) in (0,min(d_(RR^n)(overline(x),overline(z)),d_(RR^n)(overline(y),overline(z)))$
(chiaramente sottointendo che non considero il caso in cui l'arbitrario $overline(z)$ coincida con almeno uno tra gli estremi del segmento $[overline(x),overline(y)]$,perchè in tali eventualità la ts sarebbe immediata..),
si avrà $I_(RR^n)(overline(z),r_(overline(z)))subeA$ (1);
tale inclusione insiemistica potrebbe conseguire dall'ipotizzata convessità di $A$ e dal fatto che,
assegnato ad arbitrio $overline(omega)in I_(RR^n)(overline(z),r_(overline(z)))$,si riescono certo ad individuare due punti $x_(overline(omega)),y_(overline(w))$,
rispettivamente in $I_(RR^n)(overline(x),r_(overline(x)))$ e $I_(RR^n)(overline(y),r_(overline(y)))$,tali che $overline(omega) in [x_(overline(omega)),y_(overline(w))](subeA..)$:
questa certezza m'è però evidente graficamente
(diciamo che,nel piano,l'insieme dei segmenti congiungenti ogni possibile punto dei due intorni circolari di $overline(x),overline(y)$ include certo un opportuno cerchio di centro $overline(z)$..),
ma non riesco a formalizzarla in termini di coordinate
!
Avevo pensato di definire una qualche funzione,reale di $n$ variabili reali,
nel compatto costituito dall'intorno chiuso di centro $overline(z)=(overline(y)_1+t_(overline(z))(overline(x)_1-overline(y)_1),...,overline(y)_n+t_(overline(z))(overline(x)_n-overline(y)_n))$
(con $t_(overline(z)) in(0,1)$..) e raggio $r_(overline(z))$,per poi applicarvi Weierstrass:
ma i conti non tornano mai in pieno,ed i suggerimenti(o le stroncature..) sarebbero ben accolti
.
Saluti dal web.
mi pare che tutto funzionerebbe se riuscissi a provare che,fissato a piacere $r_(overline(z)) in (0,min(d_(RR^n)(overline(x),overline(z)),d_(RR^n)(overline(y),overline(z)))$
(chiaramente sottointendo che non considero il caso in cui l'arbitrario $overline(z)$ coincida con almeno uno tra gli estremi del segmento $[overline(x),overline(y)]$,perchè in tali eventualità la ts sarebbe immediata..),
si avrà $I_(RR^n)(overline(z),r_(overline(z)))subeA$ (1);
tale inclusione insiemistica potrebbe conseguire dall'ipotizzata convessità di $A$ e dal fatto che,
assegnato ad arbitrio $overline(omega)in I_(RR^n)(overline(z),r_(overline(z)))$,si riescono certo ad individuare due punti $x_(overline(omega)),y_(overline(w))$,
rispettivamente in $I_(RR^n)(overline(x),r_(overline(x)))$ e $I_(RR^n)(overline(y),r_(overline(y)))$,tali che $overline(omega) in [x_(overline(omega)),y_(overline(w))](subeA..)$:
questa certezza m'è però evidente graficamente
(diciamo che,nel piano,l'insieme dei segmenti congiungenti ogni possibile punto dei due intorni circolari di $overline(x),overline(y)$ include certo un opportuno cerchio di centro $overline(z)$..),
ma non riesco a formalizzarla in termini di coordinate
!Avevo pensato di definire una qualche funzione,reale di $n$ variabili reali,
nel compatto costituito dall'intorno chiuso di centro $overline(z)=(overline(y)_1+t_(overline(z))(overline(x)_1-overline(y)_1),...,overline(y)_n+t_(overline(z))(overline(x)_n-overline(y)_n))$
(con $t_(overline(z)) in(0,1)$..) e raggio $r_(overline(z))$,per poi applicarvi Weierstrass:
ma i conti non tornano mai in pieno,ed i suggerimenti(o le stroncature..) sarebbero ben accolti
.Saluti dal web.
Credo che il lemma 2.2.4 a pag. 49 delle dispense di Analisi Funzionale 1 di De Marco faccia al caso tuo, Delirium. E' scritto nel contesto degli spazi vettoriali topologici, ma gli spazi normati rientrano in questa classe perché la topologia della norma rende continue le operazioni di spazio vettoriale.
http://www.math.unipd.it/~gdemarco/Anal ... un2012.pdf
http://www.math.unipd.it/~gdemarco/Anal ... un2012.pdf
Grazie a tutti! Ci tornerò sopra presto (spero)!
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