Chiusura di una chiusura
Prova così: [tex]$C(U)$[/tex] è il più piccolo chiuso (rispetto all'inclusione [tex]$\subseteq$[/tex]) che contiene [tex]$U$[/tex]; in altre parole è:
[tex]$C(U) =\bigcap_{S\text{ chiuso e contenente } U} S$[/tex].
Evidentemente, se [tex]$U$[/tex] è chiuso allora è [tex]$U$[/tex] stesso il più piccolo chiuso contenente [tex]$U$[/tex], quindi [tex]$U=C(U)$[/tex]; in particolare preso [tex]$U=C(T)$[/tex], [tex]$U$[/tex] è chiuso (perchè intersezione di chiusi) e perciò [tex]$C(T)=C(C(T))$[/tex].
[tex]$C(U) =\bigcap_{S\text{ chiuso e contenente } U} S$[/tex].
Evidentemente, se [tex]$U$[/tex] è chiuso allora è [tex]$U$[/tex] stesso il più piccolo chiuso contenente [tex]$U$[/tex], quindi [tex]$U=C(U)$[/tex]; in particolare preso [tex]$U=C(T)$[/tex], [tex]$U$[/tex] è chiuso (perchè intersezione di chiusi) e perciò [tex]$C(T)=C(C(T))$[/tex].
Risposte
Scusa Sergio, non ho potuto seguire la discussione (ed in realtà quando ho risposto l'altro giorno, l'ho fatto di fretta... Forse per questo non ho centrato il punto).
Visto che non posseggo il libro di Prodi, mi serve un'informazione per capire su cosa si basi il discorso: a quanto capisco, si definisce la chiusura come unione di un insieme [tex]$T$[/tex] e del suo derivato (insieme dei punti di accumulazione di [tex]$T$[/tex]), ossia pone [tex]$C(T):=T\cup D(T)$[/tex]. Giusto?
Visto che non posseggo il libro di Prodi, mi serve un'informazione per capire su cosa si basi il discorso: a quanto capisco, si definisce la chiusura come unione di un insieme [tex]$T$[/tex] e del suo derivato (insieme dei punti di accumulazione di [tex]$T$[/tex]), ossia pone [tex]$C(T):=T\cup D(T)$[/tex]. Giusto?
Devo dire che così è abbastanza brutta la dimostrazione.
Ad ogni modo funziona e fa lavorare sugli intorni (credo che sia questo lo scopo, mah...).
Il passaggio che ti turbano sono 3$\to$4 e la conclusione, se ho capito bene.
Allora fino a 3 ha dimostrato che ogni intorno $U$ di $x$ contiene qualche punto di $y \in C(T)$, ed $U$ stesso è intorno di $y$.
Ora considera un attimo il fatto che $U$ è un intorno di $y$: si ha $y\in C(T)$ quindi, per definizione di punto d'aderenza per $T$, nell'intorno $U$ di $y$ cade qualche punto di $T$ ovvero esiste $z\in T$ tale che $z\in U$.
Torna a considerare $U$ come intorno di $x$: quanto hai appena detto, ossia che esiste $z\in T$ t.c. $z\in U$ equivale a dire che $x$ è di aderenza per $T$, dunque che $x\in C(T)$.
Ti torna adesso?
Ad ogni modo funziona e fa lavorare sugli intorni (credo che sia questo lo scopo, mah...).
"Sergio":
Grazie Gugo, ma non è la chiusura di una chiusura in sé che mi crea problemi.
E' la dimostrazione di Prodi che mi lascia un po' perplesso (avevo dimenticato di dire che Prodi propone quella dimostrazione prima di definire "chiuso"):
1 $U$ è un intorno di $x in C(C(T))$;
2 esiste un intorno $V$ di $x$ tale che $U$ è intorno di qualsiasi $y in V$;
3 in $V$ qualche $y in C(T)$;
4 $U$ contiene qualche punto di $T$.
Come si fa a concluderne che $x in C(T)$?
Il passaggio che ti turbano sono 3$\to$4 e la conclusione, se ho capito bene.
Allora fino a 3 ha dimostrato che ogni intorno $U$ di $x$ contiene qualche punto di $y \in C(T)$, ed $U$ stesso è intorno di $y$.
Ora considera un attimo il fatto che $U$ è un intorno di $y$: si ha $y\in C(T)$ quindi, per definizione di punto d'aderenza per $T$, nell'intorno $U$ di $y$ cade qualche punto di $T$ ovvero esiste $z\in T$ tale che $z\in U$.
Torna a considerare $U$ come intorno di $x$: quanto hai appena detto, ossia che esiste $z\in T$ t.c. $z\in U$ equivale a dire che $x$ è di aderenza per $T$, dunque che $x\in C(T)$.
Ti torna adesso?
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