Chiusura di un insieme

[anto_zoolander]

Tanto per cambiare un teorema
Vorrei sapere se la dimostrazione fili.

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico con topologia $tau$ indotta dalla metrica e $AsubsetX$ un insieme non vuoto
Allora $Cl_X(A)=partialAcup A^º$

Intanto $partialAcapA^º=emptyset$
poiché banalmente se $x inA^°$ allora $existsUin tau,x inU:UsubseteqA$ in cui non cadono punti del complementare

Se $x inCl_X(A)$ allora $forallUin tau,x inU: UcapA ne emptyset$
I casi sono 2: esiste almeno un aperto contenuto in $A$ allora è interno. Per ogni aperto, esso non è interamente contenuto in $A$ e quindi esiste almeno un punto del complementare che vi cade e quindi è di bordo.

Viceversa se $x inpartialAcupA^°$ allora appartiene a soltanto uno dei due.
Se è interno, allora appartiene ad $A$ e pertanto è aderente.
Se è di bordo in particolare ogni $U(x)$ è tale che $U(x)capAne emptyset$

[otta96]

Qual è la definizione della frontiera di un insieme?

[anto_zoolander]

Che ogni intorno di un punto intersechi l’insieme ed il suo complementare.

Certo la definizione topologica sarebbe più sbrigativa...

[otta96]

"anto_zoolander":Che ogni intorno di un punto intersechi l’insieme ed il suo complementare.

Certo la definizione topologica sarebbe più sbrigativa...

QUELLA è la definizione topologica, ad ogni modo volendo formalizzare la definizione, si ha che, per definizione, $FrA=\overline{A}\cap\overline{A^c}$, dimostra che la frontiera è anche uguale a $\overline{A}\setminusA^°$ e hai finito.
Con $Fr$ intendo la frontiera.

[anto_zoolander]

Si ma io sto parlando di spazi metrici e definendo la chiusura come l’insieme dei punti interni volevo mostrare questa uguaglianza. È così sbagliata la dimostrazione ?

[otta96]

In realtà rileggendo la dimostrazione meglio, non dovrebbero esserci errori, anche se è un po' contorta in alcuni punti, comunque ti volevo far notare che in realtà non stai lavorando in uno spazio metrico, ma in uno topologico generico, infatti ti dimentichi subito dell'aver considerato la metrica, che poi nella dimostrazione non usi in nessun modo.