Chiusura di un insieme
trovo definizioni contrastanti quindi domando:
la chiusura di un insieme è vero che è interno + frontiera?
perchè invece trovo da altre parti che è interno più punti di accumulazione..
la chiusura di un insieme è vero che è interno + frontiera?
perchè invece trovo da altre parti che è interno più punti di accumulazione..
Risposte
e da altre ancora che è A + più i punti di accumulazione 
Se definiamo i punti di accumulazione di di $A$ come i punti $x$ tali che ogni intorno di $x$ contenga un punto di $A$ diverso da $x$ stesso e chiamiamo \(D(A)\) il loro insieme, cioè il derivato di $A$, allora \(\mathring{A}\cup\partial A= A\cup D(A)\) e perciò la prima definizione che dai e quella del secondo post si equivalgono, infatti se $x$ appartiene alla parte interna \(\mathring{A}\) di $A$ appartiene anche ad $A$ e quindi \(\mathring{A}\subset A\), mentre, se appartiene alla frontiera $\partial A$ di $A$, siccome ogni suo intorno contiene un punto di $A$ per definizione di frontiera, può o appartenere esso stesso ad $A$ o avere in ogni suo intorno un punto di $A$ diverso da sé, per cui \(\partial A\subset A\cup D(A)\) e perciò \(\mathring{A}\cup\partial A\subset A\cup D(A)\).
D'altra parte, se $x\in A$, in ogni suo intorno esiste almeno un punto di $A$, $x$ stesso, e quindi non può essere esterno, cioè \(x\in \mathring{A}\cup\partial A\), che significa che \(A\subset\mathring{A}\cup\partial A\). Se \(x\in D(A)\) possiede in ogni suo intorno almeno un punto di $A$ diverso da sé e quindi non può neanche in questo caso, per definizione di parte esterna, che immagino tu conosca, appartenere a quest'ultima, perciò \(D(A)\subset\mathring{A}\cup\partial A \). Quindi \(A\cup D(A)\subset\mathring{A}\cup\partial A \) e questo, insieme all'inclusione \(\mathring{A}\cup\partial A\subset A\cup D(A)\), significano che \(\mathring{A}\cup\partial A= A\cup D(A)\).
Con questa definizione di punti di accumulazione, che mi sembra quella più usata, però, non mi torna che la chiusura sia interno più punti di accumulazione.
Faccio però notare che di punto di accumulazione possono darsi definizioni diverse, non sempre equivalenti.
Ciao!
D'altra parte, se $x\in A$, in ogni suo intorno esiste almeno un punto di $A$, $x$ stesso, e quindi non può essere esterno, cioè \(x\in \mathring{A}\cup\partial A\), che significa che \(A\subset\mathring{A}\cup\partial A\). Se \(x\in D(A)\) possiede in ogni suo intorno almeno un punto di $A$ diverso da sé e quindi non può neanche in questo caso, per definizione di parte esterna, che immagino tu conosca, appartenere a quest'ultima, perciò \(D(A)\subset\mathring{A}\cup\partial A \). Quindi \(A\cup D(A)\subset\mathring{A}\cup\partial A \) e questo, insieme all'inclusione \(\mathring{A}\cup\partial A\subset A\cup D(A)\), significano che \(\mathring{A}\cup\partial A= A\cup D(A)\).
Con questa definizione di punti di accumulazione, che mi sembra quella più usata, però, non mi torna che la chiusura sia interno più punti di accumulazione.
Faccio però notare che di punto di accumulazione possono darsi definizioni diverse, non sempre equivalenti.
Ciao!
Interno + punti di accumulazione non può essere. Basta prendere un insieme ridotto ad un solo punto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo