Chiusura di un insieme
ciao, devo dimostrare che:
Un punto x di X appartiene alla chiusura di E se e solo se vi `e una
successione di punti di E che converge a x.
ho trovato la seguente dimostrazione:
Per dimostrare la proposizione basta ragionare come segue. In primo luogo, se x ∈ E, per
ogni intero n il disco B(x,1/n) interseca E; scegliamo un punto xn nell’intersezione. La
successione {xn} converge a x poich´e d(xn, x) < 1/n. Viceversa, se {xn} `e una successione
di punti di E che converge a x, ogni intorno di x contiene punti di {xn}, e quindi di E
ma non riesco a capirla, qualcuno può spiegarmela??? grazie !
Un punto x di X appartiene alla chiusura di E se e solo se vi `e una
successione di punti di E che converge a x.
ho trovato la seguente dimostrazione:
Per dimostrare la proposizione basta ragionare come segue. In primo luogo, se x ∈ E, per
ogni intero n il disco B(x,1/n) interseca E; scegliamo un punto xn nell’intersezione. La
successione {xn} converge a x poich´e d(xn, x) < 1/n. Viceversa, se {xn} `e una successione
di punti di E che converge a x, ogni intorno di x contiene punti di {xn}, e quindi di E
ma non riesco a capirla, qualcuno può spiegarmela??? grazie !
Risposte
Cosa in particolare non capisci?
Provo a riscrivertela spiegando magari con altri termini.
Se $x$ appartiene alla chiusura di $E$, allora per definizione $ AA epsilon >0 $ la palla centrara in $x B(x,epsilon) nn E != O/$.
Consideri $ epsilon = 1/n$ allora per ogni $n$ consideri un punto che sta in questa intersezione(quindi appartiene anche a $E$. Cosi puoi costruire una successione di punti di $E$ che converge a $x$. Infatti dato $n=1$ trovi un $x_{1} in E$ e così via.. Questa successione tende a $x$ perchè al passo n-esimo la distanza $d(x,x_{n}) <1/n$ che tendo a zero per $n->+infty$.
Hai capito questa parte della dimostrazione ora?
PS: ho notato ora che nella dimostrazione che hai scritto te, la prima affermazione è corretta ma non ha senso al fine dell'affermazione. E' ovvio infatti che se $x in E$ allora $B(x,1/n) nn E != 0/$ infatti ci sarà sempre $x$ in questa intersezione. Devi correggere ipotizzando non che $x in E$ ma che $x$ stia in $E$ chiusura!!
Provo a riscrivertela spiegando magari con altri termini.
Se $x$ appartiene alla chiusura di $E$, allora per definizione $ AA epsilon >0 $ la palla centrara in $x B(x,epsilon) nn E != O/$.
Consideri $ epsilon = 1/n$ allora per ogni $n$ consideri un punto che sta in questa intersezione(quindi appartiene anche a $E$. Cosi puoi costruire una successione di punti di $E$ che converge a $x$. Infatti dato $n=1$ trovi un $x_{1} in E$ e così via.. Questa successione tende a $x$ perchè al passo n-esimo la distanza $d(x,x_{n}) <1/n$ che tendo a zero per $n->+infty$.
Hai capito questa parte della dimostrazione ora?
PS: ho notato ora che nella dimostrazione che hai scritto te, la prima affermazione è corretta ma non ha senso al fine dell'affermazione. E' ovvio infatti che se $x in E$ allora $B(x,1/n) nn E != 0/$ infatti ci sarà sempre $x$ in questa intersezione. Devi correggere ipotizzando non che $x in E$ ma che $x$ stia in $E$ chiusura!!
mmm allora...procediamo con ordine. poichè la chiusura di $ E= E U E' $ , se un punto x appartiene alla chiusura perché necessariamente appartiene all'insieme??? non può appartenere ad esempio a E' ???
vabbé, andiamo avanti. suppongo che appartenga all'insieme, quindi quell'intersezione è diversa dal vuoto.
considero un punto in tale intersezione e un raggio pari a $1/n$ . perchè poi riesco a costruire la successione????
vabbé, andiamo avanti. suppongo che appartenga all'insieme, quindi quell'intersezione è diversa dal vuoto.
considero un punto in tale intersezione e un raggio pari a $1/n$ . perchè poi riesco a costruire la successione????
Infatti ti ho scritto nel "ps" del mio post che ho editato che è sbagliato affermare che se $x in E$ chiusura allora $x in E$.
Considera per esempio $E=(0,1]$: $0$ non appartiene ad $E$ ma appartiene ad $E$ chiusura!!
Correggi l'inizio della tua dimostrazione con " In primo luogo, se x ∈ E CHIUSURA, per
ogni intero n il disco B(x,1/n) interseca E"
Considera per esempio $E=(0,1]$: $0$ non appartiene ad $E$ ma appartiene ad $E$ chiusura!!
Correggi l'inizio della tua dimostrazione con " In primo luogo, se x ∈ E CHIUSURA, per
ogni intero n il disco B(x,1/n) interseca E"
devo averti risposto prima che aggiungessi il ps ! ... mmm ma cmq sia questa dimostrazione non mi convince e non so il perchè, sarà che non la capisco... non c e un altro modo per dimostrarla????
Probabilmente ci sarà anche un altro modo. Ti consiglio però di ragionarci ancora su, e nel caso di spiegare quali punti non ti sono chiari. Questa è una dimostrazione molto utile anche per svolgere gli esercizi,
non capisco perché si costruisce la successione ! ne ne capisco il modo !
Proviamo a fare un esempio pratico: Considera l'intervallo $I=(0,10]$ la sua chiusura è $[0,10]$ giusto? ti mostro come si crea una successione di punti di I che tendono a 0(col metodo della dimostrazione). Allora considera $epsilon=1$, per ipotesi $0$ appartiene alla chiusura, quindi $B(0,1) nn I != O/ $. Infatti per esempio $2/3$ sta nell'intersezione. allora poni $x_{1}=2/3$.
Ora considera $epsilon = 1/2$. Di nuovo $B(0,1/2) nn I != O/ $ infatti $1/3$ sta nell'intersezione. Poni $x_{2}=1/3$.
Per ogni palla $B(0,1/n)$ troverai almeno un punto nell'intersezione(perchè 0 è di aderenza). Quindi porrai $x_{n}$ uguale ad uno di questi numeri.
Questa successione converge a $0$? Certo. infatti $|x_{n} - 0| <1/n$ perchè $x_{n} in B(0,1/n)$.
TI è più chiaro?
Ti crea problemi il fatto che non hai ottenuto un'espressione analitica per la succesione?
Ora considera $epsilon = 1/2$. Di nuovo $B(0,1/2) nn I != O/ $ infatti $1/3$ sta nell'intersezione. Poni $x_{2}=1/3$.
Per ogni palla $B(0,1/n)$ troverai almeno un punto nell'intersezione(perchè 0 è di aderenza). Quindi porrai $x_{n}$ uguale ad uno di questi numeri.
Questa successione converge a $0$? Certo. infatti $|x_{n} - 0| <1/n$ perchè $x_{n} in B(0,1/n)$.
TI è più chiaro?
Ti crea problemi il fatto che non hai ottenuto un'espressione analitica per la succesione?
chiarissimo !!!! 
ti ringrazio di cuore ! 
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