Chiusura del range di un operatore

[stelladinatale1]

Scusate, che voi sappiate se ho un operatore lineare $A$ e $b$ una costante maggiore di $0$, c'è una qualche possibilità che valga la seguente relazione:
$\bar{Ran(\mathbb{I}-bA)}=Ran (\mathbb{I}-b\bar{A})$?
Grazie a tutti

[dissonance]

In astratto non è generalmente vero che il range della chiusura di un operatore sia la chiusura del range. Altrimenti tutti gli operatori chiusi avrebbero rango chiuso, fatto non vero neanche per gli operatori limitati. Un esempio esplicito è dato dall'operatore di \(\ell^2\) in sé dato da
\[
Tx= \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \frac{x_4}{4}\ldots\right).
\]
Il range di \(T\) è dato dalle successioni \((y_n)\) tali che \(n y_n \in \ell^2\). Chiaramente non tutte le successioni di \(\ell^2\) sono in questo range, per esempio \(\left( \frac{1}{n}\right)\) non c'è. Tuttavia il range è denso, perché contiene la' base ortonormale \(\{e_1, e_2, e_3\, \ldots\}\). E quindi si tratta di un insieme non chiuso.