Chiedo conferma su integrale curvilineo...
Salve a tutti ragazzi.. Purtroppo il testo da cui studio è quasi del tutto sprovvisto di esempi o di esercizi svolti.. Vi propongo quindi un semplice (almeno credo) integrale curvilineo.. Finché l'integrale è da estendersi a una curva regolare come può essere il grafico di una funzione, non ho problemi.. Mi è sorto qualche dubbio nella risoluzione di questo integrale curvilineo esteso alla frontiera di un insieme.. Ho svolto l'esercizio e allegato le foto, chiedo conferma sulla correttezza del mio operato!
Risposte
Edit: L'esercizio non è corretto e non lo erano neanche le correzioni che avevo fatto.
In particolare ho sbagliato a trasformare le curve in forma parametrica... Per calcolare i valori che assume $t$ in $\Gamma_1$ devo calcolare $|arctg(m)|$ con $m$ coefficiente angolare della retta passante per $(1/4, sqrt(15)/4)$ e il centro della curva, ossia $(2,0)$ e integrare così da $|arctg(m)|$ a $pi$.
Allo stesso modo si procede per la curva $\Gamma_2$.
Per quanto riguarda $\Gamma_3$ è sufficiente correggere $tin[1,4]$ in $tin[0,1]$. E' corretto adesso, ragazzi? Il metodo, al di là degli errori, è quello da usare? Inoltre, facendo questo esercizio, mi è sorta una domanda... Se anziché di $\Gamma_2$ ci fosse stata una parabola o un'ellisse o qualsiasi altra curva, come avrei dovuto operare? Come sarebbero stati la parametrizzazione e gli estremi di integrazione?
In particolare ho sbagliato a trasformare le curve in forma parametrica... Per calcolare i valori che assume $t$ in $\Gamma_1$ devo calcolare $|arctg(m)|$ con $m$ coefficiente angolare della retta passante per $(1/4, sqrt(15)/4)$ e il centro della curva, ossia $(2,0)$ e integrare così da $|arctg(m)|$ a $pi$.
Allo stesso modo si procede per la curva $\Gamma_2$.
Per quanto riguarda $\Gamma_3$ è sufficiente correggere $tin[1,4]$ in $tin[0,1]$. E' corretto adesso, ragazzi? Il metodo, al di là degli errori, è quello da usare? Inoltre, facendo questo esercizio, mi è sorta una domanda... Se anziché di $\Gamma_2$ ci fosse stata una parabola o un'ellisse o qualsiasi altra curva, come avrei dovuto operare? Come sarebbero stati la parametrizzazione e gli estremi di integrazione?
Sinceramente non ho capito bene cosa hai fatto. Le parametrizzazioni ottimali (ma ce ne sono altre) ed immediate sono le seguenti:
$\Gamma_3:\ x=t,\ y=0,\qquad t\in[1,4]$
$\Gamma_1:\ x=2+2\cos t,\ y=2\sin t,\qquad t\in [0,\arccos(-7/8)]$
$\Gamma_2:\ x=\sin t,\ y=\cos t,\qquad t\in [\arcsin(1/4),\pi/2]$
L'ultima deriva dal fatto che $x=\sin t,\ y=\cos t$ è una parametrizzazione della circonferenza che, partendo dal punto $(0,1)$ la percorre in senso orario (ce ne sono altre, ma nel tuo caso era quella più comoda).
$\Gamma_3:\ x=t,\ y=0,\qquad t\in[1,4]$
$\Gamma_1:\ x=2+2\cos t,\ y=2\sin t,\qquad t\in [0,\arccos(-7/8)]$
$\Gamma_2:\ x=\sin t,\ y=\cos t,\qquad t\in [\arcsin(1/4),\pi/2]$
L'ultima deriva dal fatto che $x=\sin t,\ y=\cos t$ è una parametrizzazione della circonferenza che, partendo dal punto $(0,1)$ la percorre in senso orario (ce ne sono altre, ma nel tuo caso era quella più comoda).
Non ho capito da dove hai preso questi intervalli... Quindi chiedo in generale... Come si parametrizza un arco di circonferenza? E un arco di ellisse? Di parabola? In particolare non riesco a capire come, nel caso di circonferenza e ellisse, scegliere i due angolo...
La parametrizzazione generale per una ellisse è
$x=x_0+a\cos t,\ y=y_0+b\sin t$ essendo $a,b$ i semiassi, e $(x_0,y_0)$ il suo centro, con $t\in[0,2\pi]$.
Se $a=b$ hai una circonferenza.
la scelta degli intervalli segue dal fatto che le due circonferenze, come hai notato, si intersecano nel punto $(1/4,\sqrt{15}/4)$. Per la circonferenza più grande va bene la parametrizzazione
$x=2+2\cos t,\ y=\sin t$ (il centro è in $(2,0)$ e raggio $2$) e per determinare $t$ puoi osservare che partendo dal punto $(4,0)$ (per $t=0$) devi arrivare al punto dato prima. Pertanto deve essere
$2+2\cos t=1/4,\qquad 2\sin t=\sqrt{15}{2}$
Dal momento che l'angolo relativo a tale punto sulla circonferenza grande è compreso in $(\pi/2,\pi)$, conviene usare l'arcocoseno: si ha
$\cos t=-7/8$ e quindi $t=\arccos(-7/8)$.
Per l'altra circonferenza ho spiegato prima come procedere. In questo caso il limite inferiore di $t$ è dato dalle condizioni
$\sin t=1/4,\ \cos t=\sqrt{15}/4$ e qui conviene usare l'arcoseno (l'angolo sulla circonferenza piccola è compreso in $(0,\pi/2)$). Ne segue che $t=\arcsin(1/4)$.
$x=x_0+a\cos t,\ y=y_0+b\sin t$ essendo $a,b$ i semiassi, e $(x_0,y_0)$ il suo centro, con $t\in[0,2\pi]$.
Se $a=b$ hai una circonferenza.
la scelta degli intervalli segue dal fatto che le due circonferenze, come hai notato, si intersecano nel punto $(1/4,\sqrt{15}/4)$. Per la circonferenza più grande va bene la parametrizzazione
$x=2+2\cos t,\ y=\sin t$ (il centro è in $(2,0)$ e raggio $2$) e per determinare $t$ puoi osservare che partendo dal punto $(4,0)$ (per $t=0$) devi arrivare al punto dato prima. Pertanto deve essere
$2+2\cos t=1/4,\qquad 2\sin t=\sqrt{15}{2}$
Dal momento che l'angolo relativo a tale punto sulla circonferenza grande è compreso in $(\pi/2,\pi)$, conviene usare l'arcocoseno: si ha
$\cos t=-7/8$ e quindi $t=\arccos(-7/8)$.
Per l'altra circonferenza ho spiegato prima come procedere. In questo caso il limite inferiore di $t$ è dato dalle condizioni
$\sin t=1/4,\ \cos t=\sqrt{15}/4$ e qui conviene usare l'arcoseno (l'angolo sulla circonferenza piccola è compreso in $(0,\pi/2)$). Ne segue che $t=\arcsin(1/4)$.
Ti ringrazio davvero, sei stato gentilissimo e chiarissimo! Per quanto riguarda il resto dell'esercizio, la formula utilizzata e la scomposizione della frontiera ho operato bene? Ti chiedo questo perché nel mio libro questa parte è fatta in modo molto confuso e non ci sono esempi o esercizi svolti a riguardo..
Mi pare di sì, comunque, già che ci sono:
$\int_\Gamma x\ ds=\sum_{i=1}^3\int_{\Gamma_i} x\ ds=$
usando le parametrizzazioni precedenti e ponendo $\alpha=\arccos(-7/8),\ \beta=\arcisn(1/4)$
$=\int_0^\alpha (2+2\cos t)\sqrt{4\sin^2 t+4\cos^2 t}\ dt+\int_\beta^{\pi/2} \sin t\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}\ dt+\int_1^4 t\sqrt{1+0}\ dt=$
$=2[2t+2\sin t]_0^\alpha+[-\cos t]_\beta^{\pi/2}+[t^2/2]_1^4=4\alpha+4\sin\alpha+\cos\beta+{15}/2$
Inoltre:
$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-{49}/{64}}=-\frac{\sqrt{15}}{8}$
$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\int_\Gamma x\ ds=\sum_{i=1}^3\int_{\Gamma_i} x\ ds=$
usando le parametrizzazioni precedenti e ponendo $\alpha=\arccos(-7/8),\ \beta=\arcisn(1/4)$
$=\int_0^\alpha (2+2\cos t)\sqrt{4\sin^2 t+4\cos^2 t}\ dt+\int_\beta^{\pi/2} \sin t\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}\ dt+\int_1^4 t\sqrt{1+0}\ dt=$
$=2[2t+2\sin t]_0^\alpha+[-\cos t]_\beta^{\pi/2}+[t^2/2]_1^4=4\alpha+4\sin\alpha+\cos\beta+{15}/2$
Inoltre:
$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-{49}/{64}}=-\frac{\sqrt{15}}{8}$
$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
Avrei un'altra domanda ciampax... Se in un esercizio mi chiede di calcolare un integrale curvilineo esteso al grafico di una funzione, ad esempio $f(x)=sinx$ per $x in[pi/6,pi/4]$, si adotta come rappresentazione parametrica $x=t, y=sin(t)$ con $t in [pi/6,pi/4]$?? E ancora, quando in un integrale curvilineo divido una data frontiera in più curve regolari, devo parametrizzarle adottando un unico verso di percorrenza?
Sì ad entrambe le domande.
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