Chiedo aiuto urgentemente...
Allora... Mercoledì devo fare una specie di mini-seminario all'università sul Theorema Egregium di Gauss,
per le superfici in $RR^3$. Ho preparato il progettino studiando dal libro "Differential
Geometry of Curves and Surfaces" di DoCarmo, e prendendo alcune pagine di "A panoramic view
of riemannian geometry" di Berger. Durante il seminario devo descrivere le varie
definizioni e forme equivalenti della curvatura di Gauss.
Ebbene, guardate questa proposizione 2, tratta dal Do Carmo:
Prima cosa:
La proposizione dovrebbe essere valida anche per K=0 in tutto un intorno
del punto considerato... Le ipotesi includono "$K!=0$ in un intorno connesso
del punto, in cui K non cambia segno"... La proposizione mi sembra perfettamente
valida anche per K=0, ma ripeto, in TUTTO un intorno del punto considerato...
E infatti, nel caso del cilindro e del cono, funziona. Che ne pensate?
Seconda cosa:
Se ho una curva nel piano yz, del tipo $z=y^4$, è evidente come facendola
ruotare attorno all'asse z si ottenga una superficie con curvatura di Gauss nulla
in (0,0,0), ma NON NULLA in tutti i punti di un intorno dell'origine (intorno preso
sulla superficie, ovviamente). In questo caso la proposizione è falsa, perché
la curvatura di Gauss in $p=(0,0,0)$ è nulla, mentre sia l'area dell'immagine sferica
(tramite la mappa di Gauss) di un intorno dell'origine, sia l'area di quest'ultimo, sono DIVERSE da zero!
Mi pare strano però... Questa interpretazione geometrica dovrebbe essere
sempre valida... Attendo delucidazioni.
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi, vi prego rispondete.
per le superfici in $RR^3$. Ho preparato il progettino studiando dal libro "Differential
Geometry of Curves and Surfaces" di DoCarmo, e prendendo alcune pagine di "A panoramic view
of riemannian geometry" di Berger. Durante il seminario devo descrivere le varie
definizioni e forme equivalenti della curvatura di Gauss.
Ebbene, guardate questa proposizione 2, tratta dal Do Carmo:
Prima cosa:
La proposizione dovrebbe essere valida anche per K=0 in tutto un intorno
del punto considerato... Le ipotesi includono "$K!=0$ in un intorno connesso
del punto, in cui K non cambia segno"... La proposizione mi sembra perfettamente
valida anche per K=0, ma ripeto, in TUTTO un intorno del punto considerato...
E infatti, nel caso del cilindro e del cono, funziona. Che ne pensate?
Seconda cosa:
Se ho una curva nel piano yz, del tipo $z=y^4$, è evidente come facendola
ruotare attorno all'asse z si ottenga una superficie con curvatura di Gauss nulla
in (0,0,0), ma NON NULLA in tutti i punti di un intorno dell'origine (intorno preso
sulla superficie, ovviamente). In questo caso la proposizione è falsa, perché
la curvatura di Gauss in $p=(0,0,0)$ è nulla, mentre sia l'area dell'immagine sferica
(tramite la mappa di Gauss) di un intorno dell'origine, sia l'area di quest'ultimo, sono DIVERSE da zero!
Mi pare strano però... Questa interpretazione geometrica dovrebbe essere
sempre valida... Attendo delucidazioni.
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi, vi prego rispondete.
Risposte
La cosa mi incuriosisce, ma non sono in grado aiutarti neanche intuitivamente...non so neanche cosa sia una curvatura di Gauss. Leggendo così potrei sospettare sia l'inclinazione del piano tangente, ma sono praticamente certo di dire una cazzata!! Posso chiederti per pura curiosità di darmi una delucidazione??
Ovviamente, per l'incazzatura che ti farò prendere illudendoti di aver ricevuto una risposta seria, sei liberissimo di lasciar stare...in ogni caso buona fortuna per il tuo lavoro!
Bye
Ovviamente, per l'incazzatura che ti farò prendere illudendoti di aver ricevuto una risposta seria, sei liberissimo di lasciar stare...in ogni caso buona fortuna per il tuo lavoro!
Bye
...sono un semi-ignorante in materia, ma ho il problema di essere molto curioso...
facciamo così: semmai te lo spiego dopo che ho finito il seminario...
Meglio sì 
in bocca al lupo!! Bye.
in bocca al lupo!! Bye.
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