Chiarimento Topologia
Ciao ragazzi sono alle prese con un po' di topologia.
Sono arrivato alla definizione di "spazio metrico", e il libro mi fa diversi esempi in merito a delle distanze. Mi dice che in $ R^n $ la distanza usuale è definita come : $ d(x,y)=sqrt(sum_(j=1)^n (x_j-y_j)^2 $
Una distanza alternativa può essere invece $ d(x,y)= max _(1<=j<=n)|x_j-y_j| $
E poi mi dice che con la prima distanza in R^2 abbiamo l'usuale rappresentazione geometrica delle circonferenze, mentre l'altra da luogo a "circonferenze" di forma QUADRATA....
Scusate, ma io non capisco in che senso ci possano essere circonferenze di forma quadrata.... è una definizione che proprio non capisco...
grazie mille
Sono arrivato alla definizione di "spazio metrico", e il libro mi fa diversi esempi in merito a delle distanze. Mi dice che in $ R^n $ la distanza usuale è definita come : $ d(x,y)=sqrt(sum_(j=1)^n (x_j-y_j)^2 $
Una distanza alternativa può essere invece $ d(x,y)= max _(1<=j<=n)|x_j-y_j| $
E poi mi dice che con la prima distanza in R^2 abbiamo l'usuale rappresentazione geometrica delle circonferenze, mentre l'altra da luogo a "circonferenze" di forma QUADRATA....
Scusate, ma io non capisco in che senso ci possano essere circonferenze di forma quadrata.... è una definizione che proprio non capisco...
grazie mille
Risposte
Beh, per definizione la circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, quindi se cambi la distanza cambi anche il luogo dei punti.
Prova a scrivere l'equazione di una circonferenza dotando \( \mathbb{R}^2 \) di quella distanza.
Prova a scrivere l'equazione di una circonferenza dotando \( \mathbb{R}^2 \) di quella distanza.
Ah essere sincero non credo di sapere come si faccia... 
La sfera unitaria è data da \(x\in X\) t.c. \(\mbox{d}(x,0)=1\). Sostituendo \(\mbox{max}\{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1\). Disegna l'insieme tale che almeno una coordinata sia uguale a \(\pm 1\) (disegna tale insieme sul piano). In più vale che la maggiore in valore assoluto debba valere \(1\) (cancella dal disegno le parti che non rispettano tale condizione e hai disegnato un quadrato).
Grazie 4mrkv per la risposta ! Tuttavia sarò stupido ma continuo a non capire...
Allora.
Se \( P \in \mathbb{R}^2 \) è un punto di una circonferenza, \( C \) è il centro della circonferenza e \( R \) è il suo raggio, si ha per definizione
\[ d(P, C) = R \]
ossia, secondo la metrica adottata
\[ \max \lbrace |x - x_C|, |y - y_C| \rbrace = R \]
Quella che ho appena scritto è l'equazione della circonferenza secondo la metrica non euclidea e con un paio di ragionamenti arrivi subito a dire che il luogo descritto da quell'equazione è un quadrato centrato in \( C \).
Se \( P \in \mathbb{R}^2 \) è un punto di una circonferenza, \( C \) è il centro della circonferenza e \( R \) è il suo raggio, si ha per definizione
\[ d(P, C) = R \]
ossia, secondo la metrica adottata
\[ \max \lbrace |x - x_C|, |y - y_C| \rbrace = R \]
Quella che ho appena scritto è l'equazione della circonferenza secondo la metrica non euclidea e con un paio di ragionamenti arrivi subito a dire che il luogo descritto da quell'equazione è un quadrato centrato in \( C \).
Se \(\mbox{d}(x,0)=1\) e \(\mbox{d}(x,0)=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{1/2}=1\) elevando al quadrato da entrambe le parti ottieni \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\) che è l'equazione della sfera unitaria centrata nell'origine. Se la distanza è \(\mbox{d}(x,0)=\mbox{max}\{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1\), i punti del piano che soddisfano tale equazione danno un quadrato.
Se \(x=(x_{1},x_{2}) \in \mathbb{R}^{2}\) t.c. \(\mbox{max}\{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1\) almeno uno fra \(|x_{1}|,|x_{2}|\) è \(=1\). Sia ad esempio \(|x_{1}|=1\) quindi \(x_{1}=\pm 1\). Deve però valere \(|x_{2}|\leq |x_{1}|\) etc... vedi te di trovare il modo più intuitivo per capirlo. Non è che debba essere immediato.
Se \(x=(x_{1},x_{2}) \in \mathbb{R}^{2}\) t.c. \(\mbox{max}\{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1\) almeno uno fra \(|x_{1}|,|x_{2}|\) è \(=1\). Sia ad esempio \(|x_{1}|=1\) quindi \(x_{1}=\pm 1\). Deve però valere \(|x_{2}|\leq |x_{1}|\) etc... vedi te di trovare il modo più intuitivo per capirlo. Non è che debba essere immediato.
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