Chiarimento sulle successioni di funzioni

[vinfer]

Ciao a tutti ragazzi !!!
Potreste darmi una mano per vedere se ho capito?

Data la successione di funzioni di termine generale:

nx/(1+nx)

essa sarà convergente puntualmente nell'intervallo [0,1] mentre sara convergente uniformemente nell'intervallo ]0,1] giusto?

Grazie a tutti

[Rigel1]

Sbagliato; per avere convergenza uniforme devi eliminare un intorno destro dell'origine (come del resto è facile verificare).

[vinfer]

"Rigel":Sbagliato; per avere convergenza uniforme devi eliminare un intorno destro dell'origine (come del resto è facile verificare).

Scusa perchè non dovrebbe convergere uniformemente in ]0;1]? Ma per x appartenente all'intervallo ]0;1] il limite della successione di funzione

nx/(1+nx)

non è uguale ad 1 indipendentemente dalla x scelta in tale intervallo?

[vinfer]

Giusto???

[Rigel1]

Infatti, in \((0,1]\), il limite puntuale è \(1\); stavamo però parlando di convergenza uniforme, mi sembra.

[vinfer]

"Rigel":Infatti, in \((0,1]\), il limite puntuale è \(1\); stavamo però parlando di convergenza uniforme, mi sembra.

Si infatti questo era solo un esempio numerico che avevo fatto io per capire bene la differenza tra questi due tipi convergenza.

Corregimi se sbaglio
convergenza puntuale di una successione di funzione significa:

per ogni epsilon maggiore di zero esiste un indice ni dipendente da epsilon e da x per cui la "distanza" tra il termine generale e la funzione limite è minore di epsilon per ogni x appartenente all'insieme di definizioni delle funzioni.

Mentre per la convergenza uniforme di una successione di funzione è la stessa definizione ma con indice ni dipendente solo da epsilon.

Quindi per x € \((0,1]\) essendo la successione convergente puntualmente in ogni punto di tale intervallo ed inoltre ni non dipende dalla x (essendo il limite del termine generale uguale ad 1 per ogni x scelta in tale intervallo) la successione di funzioni sarà convergente uniformemente...

Giusto???

ps grazie per l'aiuto siete davvero delle brave persone

[Rigel1]

"vinfer":
Quindi per x € \((0,1]\) essendo la successione convergente puntualmente in ogni punto di tale intervallo ed inoltre ni non dipende dalla x (essendo il limite del termine generale uguale ad 1 per ogni x scelta in tale intervallo) la successione di funzioni sarà convergente uniformemente...

Giusto???

No. Fissato \(\epsilon > 0\) l'indice \(\nu\) che compare nella def. deve dipendere solo da \(\epsilon\) ma non da \(x\).
Se studi la disequazione \( |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\) per \(x\in (0,1]\) ottieni
\[
\left| \frac{nx}{1+nx}-1\right| < \epsilon
\]
vale a dire
\[
1 - \frac{nx}{1+nx} < \epsilon.
\]
Poiché non è restrittivo supporre \(0<\epsilon<1\), questo equivale a dire che l'indice \(\nu(\epsilon, x)\) deve essere maggiore di
\[
\frac{1}{x}\left(\frac{1}{\epsilon}-1\right),
\]
dunque non può essere scelto indipendente da \(x\in (0,1]\) (vedi subito che tale quantità diverge a \(+\infty\) per \(x\to 0^+\)).

In maniera equivalente, ma operativamente più semplice, puoi calcolare per ogni \(n\) la quantità
\[
\alpha_n := \sup_{x\in (0,1]} |f_n(x) - f(x)|
\]
e usare il fatto che \((f_n)\) converge uniformemente a \(f\) in \((0,1]\) se e solo se \(\lim_n \alpha_n = 0\).