Chiarimento sulle equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti
Per le equazioni differenziali del tipo: $ y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_(n-1)y'+a_ny=f(x) $
Dopo aver risolto l'equazione omogenea associata, aver scritto le radici e la prima parte di soluzione non capisco bene cosa si deve fare. La parte restante del procedimento l'ho capita "per inerzia" ma il passaggio importante non mi è chiaro:
Devo sostituire $ f(x) $ nell'equazione differenziale o in quella omogenea e vedere se è una soluzione e quindi (se lo è) trovare un integrale particolare del tipo $ v(x) $ al quale moltiplico $ x^k $ dove $ k $ è la molteplicità delle soluzioni della omogenea?
Grazie mille per l'aiuto!
Dopo aver risolto l'equazione omogenea associata, aver scritto le radici e la prima parte di soluzione non capisco bene cosa si deve fare. La parte restante del procedimento l'ho capita "per inerzia" ma il passaggio importante non mi è chiaro:
Devo sostituire $ f(x) $ nell'equazione differenziale o in quella omogenea e vedere se è una soluzione e quindi (se lo è) trovare un integrale particolare del tipo $ v(x) $ al quale moltiplico $ x^k $ dove $ k $ è la molteplicità delle soluzioni della omogenea?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Cerco di spiegarmi meglio. Ho per esempio l'equazione: $ y''+y=x+1 $ .
L'equazione omogenea ad essa associata è $ lambda^2+1=0 $ che ha soluzioni complesse $ i $ e $ -i $
La prima parte di soluzione è $ c_1cosx+c_2senx $ .
Ora dovrei trovare un integrale particolare $ v(x)=ax+b $ tale che $ v''+v'=x+1 $ ; ora qui il resto dell'esercizio è semplice ma mi manca quel passaggio precedente che non ho capito bene
L'equazione omogenea ad essa associata è $ lambda^2+1=0 $ che ha soluzioni complesse $ i $ e $ -i $
La prima parte di soluzione è $ c_1cosx+c_2senx $ .
Ora dovrei trovare un integrale particolare $ v(x)=ax+b $ tale che $ v''+v'=x+1 $ ; ora qui il resto dell'esercizio è semplice ma mi manca quel passaggio precedente che non ho capito bene
Nessuno può aiutarmi per favore? Capisco che forse non vi è proprio chiarissimo quale sia il moo dubbio....
Allora, credo mi sia chiaro.
Se ho polinomi/esponenziali, se $ lambda=0 $ è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica, non si considera la molteplicità delle soluzioni e si deve trovare un certo polinomio $ (ax^q+bx^(q-1)+...+z) $. Se $ lambda=0 $ non è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica, si considera la molteplicità $ h $ quindi bisogna trovare un certo polinomio $ (ax^q+bx^(q-1)+...+z) $ al cui va moltiplicato $ x^h $ .
Se ho seni/coseni, se $ 0+-mui $ è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica ( $ mu $ è l'argomento del seno/coseno) non si considera la molteplicità delle soluzioni: devo trovare un certo polinomio $ acosmux+bsenmux $. Se $ 0+-mui $ non è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica i considera la molteplicità $ h $ quindi bisogna trovare un certo polinomio $ acosmux+bsenmux $ al cui va moltiplicato $ x^h $ .
Se ho polinomi/esponenziali, se $ lambda=0 $ è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica, non si considera la molteplicità delle soluzioni e si deve trovare un certo polinomio $ (ax^q+bx^(q-1)+...+z) $. Se $ lambda=0 $ non è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica, si considera la molteplicità $ h $ quindi bisogna trovare un certo polinomio $ (ax^q+bx^(q-1)+...+z) $ al cui va moltiplicato $ x^h $ .
Se ho seni/coseni, se $ 0+-mui $ è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica ( $ mu $ è l'argomento del seno/coseno) non si considera la molteplicità delle soluzioni: devo trovare un certo polinomio $ acosmux+bsenmux $. Se $ 0+-mui $ non è soluzione dell'equazione omogenea caratteristica i considera la molteplicità $ h $ quindi bisogna trovare un certo polinomio $ acosmux+bsenmux $ al cui va moltiplicato $ x^h $ .
Ciao Trivroach,
in generale il metodo risolutivo per equazioni differenziali di questo tipo è il seguente:
i) si cerca l'integrale generale dell'omogenea associata, usando, per esempio, la tecnica della ricerca delle radici dell'equazione caratteristica (e questo punto mi pare ti sia chiaro);
ii) si cerca una soluzione particolare dell'equazione generale;
iii) si sommano i risultati dei punti i) e ii) e, eventualmente, si impongono le condizioni iniziali se si tratta di un problema di Cauchy.
Per quel che riguarda il punto ii), cioè la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione generale, non c'è un metodo universale da applicare ad ogni possibile equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea, tuttavia c'è una tecnica nel caso in cui f(x) abbia una forma del tipo $ H(t)e^(alphat) cos(beta t) + K(t)e^(alphat)sin(betat) $ con H e K polinomi. In questa situazione possiamo cercare una soluzione del tipo $ v(t) = t^k[M(t)e^(alphat) cos(beta t) + N(t)e^(alphat)sin(betat)] $ , con k = 0 se $ alpha + i beta $ non è una radice dell'equazione caratteristica, mentre se $ alpha + i beta $ è soluzione dell'equazione caratteristica k sarà uguale alla sua molteplicità. M e N, invece, sono polinomi di grado uguale al massimo dei gradi fra H e K. Per trovare la v(t) sarà quindi sufficiente scrivere esplicitamente i polinomi M e N con i suddetti accorgimenti, inserire la v(t) nell'equazione differenziale non omogenea e determinare i coefficienti dei polinomi M e N.
Spero di aver risposto alla tua domanda, se hai bisogno di qualche esempio esemplificativo te ne posso postare alcuni.
deganod
in generale il metodo risolutivo per equazioni differenziali di questo tipo è il seguente:
i) si cerca l'integrale generale dell'omogenea associata, usando, per esempio, la tecnica della ricerca delle radici dell'equazione caratteristica (e questo punto mi pare ti sia chiaro);
ii) si cerca una soluzione particolare dell'equazione generale;
iii) si sommano i risultati dei punti i) e ii) e, eventualmente, si impongono le condizioni iniziali se si tratta di un problema di Cauchy.
Per quel che riguarda il punto ii), cioè la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione generale, non c'è un metodo universale da applicare ad ogni possibile equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea, tuttavia c'è una tecnica nel caso in cui f(x) abbia una forma del tipo $ H(t)e^(alphat) cos(beta t) + K(t)e^(alphat)sin(betat) $ con H e K polinomi. In questa situazione possiamo cercare una soluzione del tipo $ v(t) = t^k[M(t)e^(alphat) cos(beta t) + N(t)e^(alphat)sin(betat)] $ , con k = 0 se $ alpha + i beta $ non è una radice dell'equazione caratteristica, mentre se $ alpha + i beta $ è soluzione dell'equazione caratteristica k sarà uguale alla sua molteplicità. M e N, invece, sono polinomi di grado uguale al massimo dei gradi fra H e K. Per trovare la v(t) sarà quindi sufficiente scrivere esplicitamente i polinomi M e N con i suddetti accorgimenti, inserire la v(t) nell'equazione differenziale non omogenea e determinare i coefficienti dei polinomi M e N.
Spero di aver risposto alla tua domanda, se hai bisogno di qualche esempio esemplificativo te ne posso postare alcuni.
deganod
Sei stato esaustivo, ti ringrazio. Con gli esercizi non sto avendo problemi quindi direi che il mio dubbio l'ho risolto ampiamente.
Buongiorno, non riesco a risolvere la seguente equazione differenziale non lineare, potete darmi un aiuto?
y''(t)+a*cos(y(t))-b=0
con a e b costanti.
Nel caso invece di cos ci fosse sen come si risolve?
Grazie, un saluto
y''(t)+a*cos(y(t))-b=0
con a e b costanti.
Nel caso invece di cos ci fosse sen come si risolve?
Grazie, un saluto
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