Chiarimento sulla ricerca di estremanti di una $f(x,y)$
Come ho indicato nel titolo, studiando analisi 2 mi sono imbattuto in un due dubbi, di natura un po' diversa l'uno dall'altro, che ogni volta mi fanno perdere un sacco di tempo sulla risoluzione di un esercizio:
1) Consideriamo una $f(x,y): D nn A sub RR^2->RR$ dove $D$ è un dominio qualsiasi. Supposto che le derivate parziali prime non si annullino mai nell'interiore di $D$, è sufficiente studiare la restrizione $f_/FD$ cioè la restrizione alla frontiera di D e trovare gli estremanti per tale restrizione per concludere che quei punti lo sono per l'intera funzione?
2) Consideriamo una $f(x,y):A sub RR^2->RR$ soggetta a un vincolo $\phi(x,y)=0$, la prof. ci ha dato per buono che gli estremanti alla restrizione al vincolo vanno ricercati tra le soluzioni del sistema $\{(\phi(x,y)=0),(|(f'_x,f'_y),(\phi'_x,\phi'_y)|=0):}$ ; ma come me lo spiego? Esiste un teorema a riguardo?
1) Consideriamo una $f(x,y): D nn A sub RR^2->RR$ dove $D$ è un dominio qualsiasi. Supposto che le derivate parziali prime non si annullino mai nell'interiore di $D$, è sufficiente studiare la restrizione $f_/FD$ cioè la restrizione alla frontiera di D e trovare gli estremanti per tale restrizione per concludere che quei punti lo sono per l'intera funzione?
2) Consideriamo una $f(x,y):A sub RR^2->RR$ soggetta a un vincolo $\phi(x,y)=0$, la prof. ci ha dato per buono che gli estremanti alla restrizione al vincolo vanno ricercati tra le soluzioni del sistema $\{(\phi(x,y)=0),(|(f'_x,f'_y),(\phi'_x,\phi'_y)|=0):}$ ; ma come me lo spiego? Esiste un teorema a riguardo?
Risposte
"calolillo":Yes. In italiano però è più usata la parola interno di interiore, almeno che io sappia.
1) Consideriamo una $f(x,y): D nn A sub RR^2->RR$ dove $D$ è un dominio qualsiasi. Supposto che le derivate parziali prime non si annullino mai nell'interiore di $D$, è sufficiente studiare la restrizione $f_/FD$ cioè la restrizione alla frontiera di D e trovare gli estremanti per tale restrizione per concludere che quei punti lo sono per l'intera funzione?
2) Consideriamo una $f(x,y):A sub RR^2->RR$ soggetta a un vincolo $\phi(x,y)=0$, la prof. ci ha dato per buono che gli estremanti alla restrizione al vincolo vanno ricercati tra le soluzioni del sistema $\{(\phi(x,y)=0),(|(f'_x,f'_y),(\phi'_x,\phi'_y)|=0):}$ ; ma come me lo spiego? Esiste un teorema a riguardo?Yes again. Si chiama Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Grazie della risposta dissonance!
1) ahaha sono d'accordo con te, dillo alla mia prof
2) ...ma per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non dovrebbe esserci una $\lambda$ e una funzione lagrangiana da qualche parte, o sbaglio? O forse questa è semplicemente un'altra forma dello stesso metodo, però non sono riuscito a capire come si arriva a questo sistema...cerco di spiegarmi meglio: ammesso e concesso che l'equazione del vincolo, presente come prima equazione del sistema, rappresenti la derivata parziale della lagrangiana ($L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\phi(x,y)$) rispetto a $\lambda$ posta uguale a $0$, l'altra equazione che ne viene fuori dovrebbe "corrispondere" con le derivate parziali della lagrangiana poste uguali a $0$, ma ottengo invece un'altra condizione apparentemente differente, ovvero $f'_x\phi'_y=f'_y\phi'_x$. Come ci siamo arrivati?
1) ahaha sono d'accordo con te, dillo alla mia prof
2) ...ma per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non dovrebbe esserci una $\lambda$ e una funzione lagrangiana da qualche parte, o sbaglio? O forse questa è semplicemente un'altra forma dello stesso metodo, però non sono riuscito a capire come si arriva a questo sistema...cerco di spiegarmi meglio: ammesso e concesso che l'equazione del vincolo, presente come prima equazione del sistema, rappresenti la derivata parziale della lagrangiana ($L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\phi(x,y)$) rispetto a $\lambda$ posta uguale a $0$, l'altra equazione che ne viene fuori dovrebbe "corrispondere" con le derivate parziali della lagrangiana poste uguali a $0$, ma ottengo invece un'altra condizione apparentemente differente, ovvero $f'_x\phi'_y=f'_y\phi'_x$. Come ci siamo arrivati?
E' molto più semplice di quanto pensi. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange dice: un punto sul vincolo è critico per $f$ sse $nabla f$ e $nabla phi$ sono linearmente dipendenti. Questo si può scrivere con il $lambda$ oppure con il determinante, è la stessa cosa.
Ma certo...due vettori sono linearmente dipendenti sse la matrice le cui righe sono date dalle componenti dei due vettori ha determinante nullo...mi sa che devo ripassare un po' di algebra lineare grazie mille!
grazie mille!
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