Chiarimento sul principio del buon ordinamento

[Crypto19931]

Buongiorno a tutti! Questo è il mio primo topic su questo forum e spero che possiate risolvere un problema che ho riscontrato con il principio del buon ordinamento, magari illustrandomi dove eventualmente sto sbagliando.
Mi scuso in anticipo se questo topic va ad aggiungersi ad altri già aperti e che magari trattano il medesimo argomento, per cui spero possiate correggermi nell'indirizzarmi verso i topic interessati!

Ma vengo al punto. Il mio dubbio sta nella dimostrazione del principio del buon ordinamento, per cui desidererei sapere se il mio ragionamento è corretto o meno.

Intanto, parto dalla formulazione, e cioé che se [tex]H\subseteq \mathbb{N}[/tex]e H non è vuoto, allora esso ha un minimo. Ragiono per induzione (sto ipotizzando che la simbologia [tex]\mathbb{N}[/tex] indichi l'insieme dei naturali escluso lo zero):
1. se [tex]1\in H[/tex], allora esso è certamente il minimo visto che l'insieme è naturale;
2. se [tex]1\notin H[/tex], allora definisco un ulteriore insieme K che contiene al suo interno tutti i minoranti di H. Ciò equivarrebbe a dire che [tex]K=\left \{ {p\in\mathbb{N}\backslash H,p\leq m,\forall m\in H} \right \}[/tex]. Ora, sicuramente questo nuovo insieme non può coincidere con [tex]\mathbb{N}[/tex] visto che, per ipotesi, H è non vuoto, quindi non è vero che se [tex]p\in K \Rightarrow p+1\in K[/tex], per cui è falso affermare [tex]p+1\in K[/tex].

In virtù di ciò, non potendo appartenere a K, [tex]p+1\in H[/tex], ma essendo [tex]p < m,\forall m\in H[/tex] evidentemente [tex]p+1\leq m,\forall m\in H[/tex], dunque p+1 è il minimo dell'insieme H.

Ciò che non mi convince sta proprio nel passare dal dire che [tex]p\in K[/tex] al dire che [tex]p+1\in H[/tex]. Voi cosa ne pensate?

[gugo82]

Non convince perchè non lo spieghi bene... Però è semplice rimediare.

Dato che non può sussistere:
\[
\forall p\in K,\ p+1\in K
\]
(perchè, essendo \(1\in K\), dal Principio d'Induzione si otterrebbe \(K=\mathbb{N}\), ossia \(H=\varnothing\) contro l'ipotesi). deve necessariamente valere, per il Principio del Terzo Escluso, la negazione della proposizione precedente cioè:
\[
\exists p\in K:\ p+1\notin K\; .
\]
Mostriamo che \(p+1\in H\).
Per assurdo, supponiamo che \(p+1\notin H\); allora, non essendo \(p+1\in K\), tale numero non è un minorante di \(H\) e, perciò, esiste qualche \(m\in H\) tale che \(m< p+1\); ma allora \(m\leq p\), il che è assurdo perchè \(p\in K\).

Dunque \(p\in K\) e \(p+1\in H\).
D'altra parte, lo stesso ragionamento usato per provare l'assurdo poco più sopra si può usare per dimostrare che:
\[
\forall m\in H,\ p+1\leq m\; ;
\]
pertanto \(p+1\) è il minimo di \(H\).

[theras]

Ciao,e benvenuto su questo Forum!
Premetto che non mi fà impazzire la tecnica che avete usato per dimostrare il buon ordinamento di $NN$ perchè,
in modo fondamentalmente equivalente al tuo ma ai miei occhi più "immediato" ed intuitivo,
io avrei semplicemente ammesso per assurdo l'esistenza d'un insieme $A in mathcal{P}(NN)setminus{emptyset} " t.c. " AAm inA$ $EEa_m inA$ \ $a_m (cioè d'un sottoinsieme non vuoto $A$ di quello dei naturali,privo di minimo rispetto all'usuale relazione d'ordine su $NN$..),
per poi andare a dimostrare attraverso l'assioma d'induzione che $NNsetminusA=NN$
(lascio a te la verifica di questo fatto,ma nel caso fà un fischio) $rArrNNsetminus(NNsetminusA)=NNsetminusNNrArrA=emptyset$
(l'ultimo verso d'implicazione è giustificato da note proprietà insiemistiche..),
in contrasto con l'ipotesi fatta;
ciò detto veniamo al tuo quesito
(userò linea di ragionamento e simbologia da te adottata,
"aggiustandola" in modo equivalente ma parzialmente alternativo a quello di Gugo,
scegliendo inoltre $m$ in luogo di $p$ per evitare potenziali equivoci e,
nella proprietà caratteristica tramite la quale hai assegnato $K$,usando il $<$ in luogo del $<=$..),
ed osserva intanto come,nell'eventualità in cui $1!inH$,sia più corretto dedurre che $EEm in K" t.c " m+1!inK$ (1):
in caso contrario,infatti,essendo vera la base induttiva $1inK$
(in quanto,nel caso in esame,$1!inHrArr1inNNsetminusH$,ed inoltre $1$ è certo minorante di $HsubeNNsetminus{1}$..),
per l'assioma d'induzione avremmo $K=NN$ in contrasto a quanto giustamente deduci dal fatto che $H ne emptyset$.
Ammesso allora,per assurdo,che $m+1!inH$,
noteremmo come,dalla (1) e da tale ipotesi assurda,deduremmo che $ m+1>=h" per qualche "hinH$ (2)
(quest'ultima implicazione è conseguenza immediata di come abbiamo definito $K$..);
sempre per la "nuova" proprietà caratteristica che definisce $K$ potremo inoltre dire,
per immediata conseguenza dell'essere $m inK,h inH$,
come $m vista allora la (2) sarà vero che $m+1=h" per qualche "h inHrArrm+1 inH$,
contro la nostra ipotesi..
A questo punto,ripetendo le stesse giuste considerazioni che hai effettuato nella parte finale della tua verifica,
potrai concludere come $m+1$ sia,nell'eventualità considerata,il minimo di $H$ che andavi cercando:
saluti dal web.

[Crypto19931]

Innanzitutto, vi ringrazio per le vostre risposte!

C'è però una cosa che non riesco a comprendere:

"gugo82":
Mostriamo che [tex]p+1\in H[/tex].
Per assurdo, supponiamo che [tex]p+1\notin H[/tex]; allora, non essendo [tex]p+1\in K[/tex], tale numero non è un minorante di [tex]H[/tex] e, perciò, esiste qualche [tex]m\in H[/tex] tale che [tex]m < p+1[/tex]; ma allora [tex]m≤p[/tex], il che è assurdo perchè [tex]p\in K[/tex].

Dunque [tex]p\in K[/tex] e [tex]p+1\in H[/tex].

Perché deve esistere qualche [tex]m\in H[/tex] tale che [tex]m < p+1[/tex]? E come giungi alla conclusione (poi falsa perché giustamente [tex]p \in K[/tex]) che [tex]m≤p[/tex]?

[gugo82]

Beh, dato che:
\[
p+1 \text{ è un minorante di } H \quad \Leftrightarrow \quad \forall m\in H,\ p+1\leq m\; ,
\]
negando trovi:
\[
p+1 \text{ non è un minorante di } H \quad \Leftrightarrow \quad \exists m\in H:\ m \]
Inoltre, l'implicazione \(m

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