Chiarimento su una definizione (integrali di linea)
Riporto da Wikipedia:
Cosa si intende per "pesata da una funzione scalare definita sulla curva?"
In matematica, un integrale di linea o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato integrale di contorno.
La funzione da integrare può essere un campo scalare o un campo vettoriale. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la lunghezza di un arco o, nel campo vettoriale, il prodotto scalare del campo scalare con il vettore differenziale nella curva).
Cosa si intende per "pesata da una funzione scalare definita sulla curva?"
Risposte
Se [tex]$w:[a,b] \to \mathbb{R}$[/tex] è una funzione "decente", allora per ogni funzione [tex]$f:[a,b]\to \mathbb{R}$[/tex] integrabile secondo Riemann ha senso considerare l'integrale [tex]$\int_a^b f(x)\ w(x)\text{ d} x$[/tex]: tale integrale viene detto integrale pesato di [tex]$f$[/tex] rispetto al peso [tex]$w$[/tex].
Nel caso degli integrali curvilinei su una curva [tex]$\Gamma$[/tex] con r.p. [tex]$\alpha :[a,b] \to \mathbb{R}^3$[/tex], hai per definizione:
[tex]$\int_\Gamma f(x) \text{ d} \sigma :=\int_a^b f(\alpha (t))\ |\alpha^\prime (t)| \text{ d} t$[/tex]
sicché l'integrale curvilineo di [tex]$f$[/tex] è l'integrale pesato di [tex]$f\circ \alpha$[/tex] rispetto al peso [tex]$w(t):=|\alpha^\prime (t)|$[/tex].
Nel caso degli integrali curvilinei su una curva [tex]$\Gamma$[/tex] con r.p. [tex]$\alpha :[a,b] \to \mathbb{R}^3$[/tex], hai per definizione:
[tex]$\int_\Gamma f(x) \text{ d} \sigma :=\int_a^b f(\alpha (t))\ |\alpha^\prime (t)| \text{ d} t$[/tex]
sicché l'integrale curvilineo di [tex]$f$[/tex] è l'integrale pesato di [tex]$f\circ \alpha$[/tex] rispetto al peso [tex]$w(t):=|\alpha^\prime (t)|$[/tex].
Ho qualche dubbio che quanto scritto sia corretto ; inoltre mi giunge nuovo il prodotto scalare tra uno scalare e un vettore .
Forse l'ultima frase significa il prodotto scalare tra la forza presente nel campo vettoriale e lo spostamento infinitesimo sulla curva , quindi il lavoro compiuto dalla forza.
Forse l'ultima frase significa il prodotto scalare tra la forza presente nel campo vettoriale e lo spostamento infinitesimo sulla curva , quindi il lavoro compiuto dalla forza.
Avevo pensato che la pesatura potesse essere quello che ha detto gugo , ma non avendolo mai visti scritto in quel modo l'avevo escluso 
Centra qualcosa il concetto di ascissa curvilinea?
Lo chiedo perchè la prof ha spiegato questi concetti un pò male e, sto trovando un attimino di difficoltà nel comprendere tutto, anche per avere un riscontro visivo di quello che faccio sul piano o nello spazio.
Lo chiedo perchè la prof ha spiegato questi concetti un pò male e, sto trovando un attimino di difficoltà nel comprendere tutto, anche per avere un riscontro visivo di quello che faccio sul piano o nello spazio.
C'entra qualcosina...
Se la r.p. [tex]$\alpha$[/tex] di [tex]$\Gamma$[/tex] è una r.p. in base all'ascissa curvilinea, allora [tex]$|\alpha^\prime (t)|=1$[/tex] cosicché il "peso" rispetto cui calcolare l'integrale di [tex]$f\circ \alpha$[/tex] è unitario.
Tutto qui.
Se la r.p. [tex]$\alpha$[/tex] di [tex]$\Gamma$[/tex] è una r.p. in base all'ascissa curvilinea, allora [tex]$|\alpha^\prime (t)|=1$[/tex] cosicché il "peso" rispetto cui calcolare l'integrale di [tex]$f\circ \alpha$[/tex] è unitario.
Tutto qui.
Capito. Allora approfitto delladisponibilità per chiederti un'ultima cosa, mi spiegheresti cos'è l'ascissa curvilinea?....grazie
E' il contachilometri!
cioè?...
a quanto ho capito è una riparametrizzazione particolare che ci permette di svolgere l'integrale, che andrà a dipendere solo dall'estremo superiore, perchè quello inferiore è fissato. Ma in parole più semplici?...non vorrei fissare troppo il concetto a memoria, magari con una spiegazione o con un esempio lo capirei meglio
a quanto ho capito è una riparametrizzazione particolare che ci permette di svolgere l'integrale, che andrà a dipendere solo dall'estremo superiore, perchè quello inferiore è fissato. Ma in parole più semplici?...non vorrei fissare troppo il concetto a memoria, magari con una spiegazione o con un esempio lo capirei meglio
"Fioravante Patrone":
E' il contachilometri!
Splendida
L'ascissa curvilinea è la lunghezza del cammino percorso sulla curva stessa a partire da un estremo o da un punto prefissato.
Considera la circonferenza di centro l'origine e raggio $R$ rappresentata in coordinate polari da :
$x=Rcos theta ; y=Rsin theta $ ;$theta in [0,2pi]$.
La lunghezza dell'arco di curva $s(theta) $ è data da $s(theta)=int_0^theta R d theta= Rtheta$ da cui $ theta=s/R$.
Si può quindi riparametrizzare la curva come
$ x=Rcos(s/R) ; y= Rsin(s/R) $ con $s in [0,2piR] $ , dove $s $ è il parametro arco o ascissa curvilinea.
$x=Rcos theta ; y=Rsin theta $ ;$theta in [0,2pi]$.
La lunghezza dell'arco di curva $s(theta) $ è data da $s(theta)=int_0^theta R d theta= Rtheta$ da cui $ theta=s/R$.
Si può quindi riparametrizzare la curva come
$ x=Rcos(s/R) ; y= Rsin(s/R) $ con $s in [0,2piR] $ , dove $s $ è il parametro arco o ascissa curvilinea.
ho capito....grazie per la pazienza
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