Chiarimento su un limite

[Dust1]

Ciao a tutti. Ho una domanda su questo limite:

$lim_(xrarr+oo)((log((x+1)^3*log|x+1|))/x)$
L'ho calcolato con de l'Hopital ed è venuto $0$, che è esatto, ma ciò che volevo sapere e se potevo dire che sarebbe venuto $0$ perchè $log(x)=o(x)$ oppure no. Io non ho fatto subito così perchè ho pensato che $log(x)=o(x)$ dipenda dall'argomento del logaritmo. E' esatto oppure no?

Grazie!

[fireball1]

Ripeto: l'o piccolo è sempre meglio usarlo
per gli infinitesimi, non per dire che una funzione
è un infinito di ordine inferiore rispetto a un'altra,
ma per dire, se la funzione è infinitesima,
che quella funzione è infinitesima di ordine superiore
rispetto ad un'altra per x che tende a un certo $x_0$.
Per calcolare questo limite usando gli o piccoli possiamo
procedere così: per $x->+oo$
$log((x+1)^3log|x+1|)=log(x^3(1+o(1))(log(x(1+o(1)))))=
$=log(x^3(1+o(1))(logx+o(1)))=log(x^3)+o(1)+log(logx+o(1))=3logx+log(logx)+o(1)
a questo punto il limite è uguale a:
$lim_(x->+oo) (3logx+log(logx))/x = lim_(x->+oo) (3logx)/x + lim_(x->+oo) (log(logx))/x
il primo limite fa ovviamente 0, per il secondo si può porre $logx=y$ ed ottenere
$lim_(y->+oo) (logy)/(e^y)=lim_(y->+oo) (logy/y)/(e^y/y) = 0/(+oo) = 0
Quindi per concludere:
$lim_(x->+oo) log((x+1)^3log|x+1|)/x = 0

[Dust1]

Grazie! Ora ho capito.