Chiarimento su simbolismo equazioni differenziali

[Sk_Anonymous]

Salve, volevo avere un chiarimento sul simbolismo usato dal mio testo riguardo la teoria delle equazioni differenziali. Il testo dice che un'eq. diff. è un'equazione del tipo $F(t,y',y",....,y^(n))=0$. Vorrei capire cosa rappresenta $t$ e cosa significa che $F$ è una funzione assegnata delle $n+2$ variabili $t,y,y',y",....,y^(n)$. Grazie mille.

[Sk_Anonymous]

$t$ è la variabile indipendente. $F(t,y,y',...,y^(n))=0$ è la forma implicita più generale che un'equazione differenziale ordinaria può assumere, cioè una generica relazione tra la variabile indipendente $t$, la variabile dipendente $y$ e tutte le sue derivate fino all'ordine $n$. Per esempio, un'equazione differenziale ordinaria del 1° ordine assume la forma implicita $F(t,y,y')=0$. Spesso, assumendo che si possa esplicitare rispetto a $y'$, troverai la forma $y'=f(t,y)$, di più immediata interpretazione.

[Sk_Anonymous]

"speculor":$t$ è la variabile indipendente. $F(t,y,y',...,y^(n))=0$ è la forma implicita più generale che un'equazione differenziale ordinaria può assumere, cioè una generica relazione tra la variabile indipendente $t$, la variabile dipendente $y$ e tutte le sue derivate fino all'ordine $n$.

Quindi $t$ sarebbe la funzione identità che dunque è sempre nota?

[Sk_Anonymous]

"lisdap":
Quindi $t$ sarebbe la funzione identità che dunque è sempre nota?

Onestamente, come i testi di Analisi confermano, non vedo la necessità di vedere $t$ come una funzione: $t$ è la variabile indipendente mediante la quale esprimi la variabile dipendente $y$.

[Camillo]

Insomma $t $ è quella che in genere viene indicata con la $ x $. , cioè la variabile indipendente.
Perchè $F$ è funzione di $n+2 $ variabili ? la ragione è che è funzione di :

$t, y$ che sono 2
e delle derivate di $y $ fino all'ordine $n $ e sono appunto $n $

Totale $n+2$.

[Sk_Anonymous]

"Camillo":
Insomma $t $ è quella che in genere viene indicata con la $x$.

Non c'è ombra di dubbio.

[Sk_Anonymous]

"Camillo":Insomma $t $ è quella che in genere viene indicata con la $ x $. , cioè la variabile indipendente.
Perchè $F$ è funzione di $n+2 $ variabili ? la ragione è che è funzione di :

$t, y$ che sono 2
e delle derivate di $y $ fino all'ordine $n $ e sono appunto $n $

Totale $n+2$.

Quindi io posso vedere il primo membro dell'equazione differenziale come una funzione costante (infatti è uguale a 0) delle funzioni (derivate e non) che contiene giusto?

[gugo82]

"lisdap":[quote="Camillo"]Insomma $t $ è quella che in genere viene indicata con la $ x $. , cioè la variabile indipendente.
Perchè $F$ è funzione di $n+2 $ variabili ? la ragione è che è funzione di :

$t, y$ che sono 2
e delle derivate di $y $ fino all'ordine $n $ e sono appunto $n $

Totale $n+2$.

Quindi io posso vedere il primo membro dell'equazione differenziale come una funzione costante (infatti è uguale a 0) delle funzioni (derivate e non) che contiene giusto?[/quote]
Non proprio.

Una definizione decente di equazione differenziale ordinaria in forma implicita (che dovrebbe essere riportata su qualsiasi testo di Analisi, che ti invito caldamente a sfogliare) è la seguente:

Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo ed \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\).
Si chiama equazione differenziale ordinaria (in breve EDO) d'ordine \(n\) il problema di determinare se esistono ed, eventualmente, calcolarli esplicitamente tutti gli intervalli $U$ e le funzioni \(u:U\to \mathbb{R}\) tali che:

[list=1][*:1qrgasvg] $U sube I$ con $U$ non ridotto ad un solo punto;

[/*:m:1qrgasvg]
[*:1qrgasvg] \(u\) è derivabile almeno \(n\) volte in \(U\);

[/*:m:1qrgasvg]
[*:1qrgasvg] per ogni \(t \in U\) risulta \(F(t,u(t),u^\prime (t),\ldots, u^{(n)}(t))=0\).[/*:m:1qrgasvg][/list:o:1qrgasvg]

Tale problema si indica in maniera più concisa scrivendo semplicemente \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).

Ogni funzione \(u\) che soddisfa le 1-3 si chiama soluzione (od anche integrale) della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).[nota]L’insieme $I xx RR^(n+1)$ di definizione di $F$ potrebbe essere rimpiazzato con un qualsiasi aperto $Omega sube RR^(n+2)$; in tal caso, l’intervallo $ U$ di definizione della soluzione $u$ dovrebbe soddisfare la condizione $U sube text(proj)_1 Omega$ (in cui $text(proj)_1$ denota la proiezione lungo il primo asse coordinato).
In ogni caso, però, l’insieme di definizione della soluzione $u$ è anch’esso (e non potrebbe essere altrimenti, vista la definizione di funzione) un’incognita del problema.[/nota]
La classe \(\{u \text{ è soluzione di } F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\}\) si chiama integrale generale della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).

Ad esempio, sono equazioni differenziali ordinarie le seguenti:
\[ \begin{split} u^{\prime \prime} +u-e^{t} &=0 \\ u^\prime -\sin u +2&=0 \\ \sqrt{t^2+(u^{(3)})^2}-e^{u}&=0\end{split}\]
che hanno rispettivamente:
\[ \begin{split} F:\mathbb{R}^4 \ni (t,u,p_1,p_2) &\mapsto p_2+u-e^t\in \mathbb{R} \\ F:\mathbb{R}^3\ni (t,u,p_1) &\mapsto p_1-\sin u +2 \\ F:\mathbb{R}^5 \ni (t,u,p_1,p_2,p_3) &\mapsto \sqrt{t^2+p_3^2} -e^u \in \mathbb{R}\; .\end{split}\]

Il fatto che \(F\) sia definita in un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^{n+2}\) non ti deve stupire, perchè (come diceva Camillo) una EDO di ordine \(n\) deve "legare" i valori delle prime \(n\) derivate della funzione incognita con i valori assunti dalla funzione stessa e dalla variabile indipendente: pertanto dentro la \(F\) devono figurare \(\underbrace{n}_{\text{derivate}}+\underbrace{1}_{\text{incognita}}+\underbrace{1}_{\text{variabile indip.}}=n+2\) argomenti.