Chiarimento su serie armonica generalizzata
Ad un certo punto della dimostrazione rimango con
$ s_(n+1)-1<=int_(1)^(n+1) dx/x^p<=s_n $
Non riesco a capire quel -1 al primo membro perché si mette. Se potreste aiutarmi vi sarei molto grato
$ s_(n+1)-1<=int_(1)^(n+1) dx/x^p<=s_n $
Non riesco a capire quel -1 al primo membro perché si mette. Se potreste aiutarmi vi sarei molto grato
Risposte
"link19":
Ad un certo punto della dimostrazione rimango con
$ s_(n+1)-1<=int_(1)^(n+1) dx/x^p<=s_n $
Non riesco a capire quel -1 al primo membro perché si mette. Se potreste aiutarmi vi sarei molto grato
Se riporti anche il resto magari...
P.S.: Conosci il criterio di condensazione di Cauchy?
Dati $an=1/k^p$ e $sn=$ $ sum_(k = 1)^(n)1/k^p $ con p diverso da 1
$k in N$ $ $ $ $ $k^p 1/k^(p+1)<1/x^p<1/k^p$
$ int_(k)^(k+1) dx/k^(p+1)<=int_(k)^(k+1)dx/x^p<=int_(k)^(k+1)dk/k^p $
$1/k^(p+1)int_(k)^(k+1)dx<=int_(k)^(k+1)dx/x^p<=1/k^(p)int_(k)^(k+1)dx$
$1/k^(p+1)<=int_(k)^(k+1)dx/x^p<=1/k^p$
$sum_(k=1)^(n)1/k^(p+1)<=sum_(k=1)^(n)int_(k)^(k+1)dx/x^p<=sum_(k=1)^(n)1/k^p=s_n$
$s_(n+1)-1<=int_(1)^(n+1)dx/x^p<=s_n$
Non conosco il criterio di condensazione di Cauchy
$k in N$ $ $ $ $ $k^p
$ int_(k)^(k+1) dx/k^(p+1)<=int_(k)^(k+1)dx/x^p<=int_(k)^(k+1)dk/k^p $
$1/k^(p+1)int_(k)^(k+1)dx<=int_(k)^(k+1)dx/x^p<=1/k^(p)int_(k)^(k+1)dx$
$1/k^(p+1)<=int_(k)^(k+1)dx/x^p<=1/k^p$
$sum_(k=1)^(n)1/k^(p+1)<=sum_(k=1)^(n)int_(k)^(k+1)dx/x^p<=sum_(k=1)^(n)1/k^p=s_n$
$s_(n+1)-1<=int_(1)^(n+1)dx/x^p<=s_n$
Non conosco il criterio di condensazione di Cauchy
Forse ti sarebbe più chiaro usando la stima
[tex]\displaystyle \frac{1}{(k+1)^p}\leq\frac{1}{x^p}\leq\frac{1}{k^p}\;\;\;\forall x\in [k,k+1],\;k\in\mathbb{N}.[/tex]
In questo modo si integra in [tex][k,k+1][/tex] ottenendo
[tex]\displaystyle \int_k ^{k+1} \frac{dx}{(k+1)^p}\leq \int_k ^{k+1}\frac{dx}{x^p} \leq \int_k ^{k+1} \frac{dx}{x^p} \Rightarrow \frac{1}{(k+1)^p} \leq \int_k ^{k+1} \frac{dx}{x^p}\leq \frac{1}{k^p}[/tex]
da cui, sommando [tex]n[/tex] termini,
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^p} \leq \sum_{k=1}^{n} \int_k ^{k+1} \frac{dx}{x^p}\leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^p} \Rightarrow s_{n+1}-1\leq\int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x^p}\leq s_n[/tex].
dove le [tex]s_n[/tex] sono le somme parziali. Nota che
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^p}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^p}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^p}-1[/tex]
Il tuo procedimento francamente mi lascia un po' perplesso. Dovrei provare a rifarlo (ma il tempo manca).
[tex]\displaystyle \frac{1}{(k+1)^p}\leq\frac{1}{x^p}\leq\frac{1}{k^p}\;\;\;\forall x\in [k,k+1],\;k\in\mathbb{N}.[/tex]
In questo modo si integra in [tex][k,k+1][/tex] ottenendo
[tex]\displaystyle \int_k ^{k+1} \frac{dx}{(k+1)^p}\leq \int_k ^{k+1}\frac{dx}{x^p} \leq \int_k ^{k+1} \frac{dx}{x^p} \Rightarrow \frac{1}{(k+1)^p} \leq \int_k ^{k+1} \frac{dx}{x^p}\leq \frac{1}{k^p}[/tex]
da cui, sommando [tex]n[/tex] termini,
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^p} \leq \sum_{k=1}^{n} \int_k ^{k+1} \frac{dx}{x^p}\leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^p} \Rightarrow s_{n+1}-1\leq\int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x^p}\leq s_n[/tex].
dove le [tex]s_n[/tex] sono le somme parziali. Nota che
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^p}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^p}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^p}-1[/tex]
Il tuo procedimento francamente mi lascia un po' perplesso. Dovrei provare a rifarlo (ma il tempo manca).
Ho capito tutti i passaggi che hai fatto, ma l'unica cosa poco chiara è sempre quel -1 della diseguaglianza mia(quella tua l'ho capita). Il mio libro riporta la mia dimostrazione, ma non mi chiarisce il perché diu questo -1. Grazie ancora.
Boh, qual è il tuo libro per curiosità?
"Analisi matematica uno" di Marcellini e Sbordone
Ad ogni modo, a titolo informativo, esiste il criterio di condensazione di Cauchy (o di Cantor, a seconda dei testi).
E' un criterio molto potente che si può utilizzare per dimostrare il carattere della serie armonica generalizzata.
http://www.matematicamente.it/forum/criterio-di-condensazione-serie-t71794.html#499440
E' un criterio molto potente che si può utilizzare per dimostrare il carattere della serie armonica generalizzata.
http://www.matematicamente.it/forum/criterio-di-condensazione-serie-t71794.html#499440
"link19":
"Analisi matematica uno" di Marcellini e Sbordone
Utilizzando codesto stesso testo, ti posso garantire (l'ho appena guardato!) che il criterio utilizzato è quello che ti ho detto io.
"Richard_Dedekind":
[quote="link19"]"Analisi matematica uno" di Marcellini e Sbordone
Utilizzando codesto stesso testo, ti posso garantire (l'ho appena guardato!) che il criterio utilizzato è quello che ti ho detto io.[/quote]
Scusami, ma hai ragione. Non avevo controllato bene. Comunque sugli appunti ho p+1 e non sul libro. Quella del libro, adesso mi è chiara grazie alla tua spiegazione. Se qualcuno mi riuscisse a spiegare anche per p+1 sarebbe meglio anche se mi basta solo quella per $(k+1)^p$.
Si tratta in fondo di capire cosa diavolo sia questa somma parziale:
[tex]\overline{s}_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{p+1}} = 1 + \frac{1}{2^{p+1}}+\frac{1}{3^{p+1}}+\ldots+\frac{1}{n^{p+1}}[/tex]
Mah, vediamo la somma parziale della serie armonica generalizzata
[tex]\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{n^p}[/tex]
e facendo una differenza vedo che viene
[tex]\displaystyle s_n - \overline{s}_n = \frac{1}{2^p}\left(1- \frac{1}{2}\right )+ \frac{1}{3^p}\left(1-\frac{1}{3} \right )+\ldots+\frac{1}{n^p}\left( 1-\frac{1}{n} \right)=\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^p}\left (1-\frac{1}{k} \right)>\\ >\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^p}=s_{n} -1[/tex]
che comunque non è quanto avevi scritto ma funzionerebbe lo stesso. I casi sono quattro:
1) io ho sbagliato a fare i conti e le stime (cose molto probabili, la prima in particolare);
2) ti sei confuso nel prendere appunti;
3) il professore si è confuso
4) c'è qualcos'altro che sfugge sia a me che a te
[tex]\overline{s}_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{p+1}} = 1 + \frac{1}{2^{p+1}}+\frac{1}{3^{p+1}}+\ldots+\frac{1}{n^{p+1}}[/tex]
Mah, vediamo la somma parziale della serie armonica generalizzata
[tex]\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{n^p}[/tex]
e facendo una differenza vedo che viene
[tex]\displaystyle s_n - \overline{s}_n = \frac{1}{2^p}\left(1- \frac{1}{2}\right )+ \frac{1}{3^p}\left(1-\frac{1}{3} \right )+\ldots+\frac{1}{n^p}\left( 1-\frac{1}{n} \right)=\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^p}\left (1-\frac{1}{k} \right)>\\ >\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^p}=s_{n} -1[/tex]
che comunque non è quanto avevi scritto ma funzionerebbe lo stesso. I casi sono quattro:
1) io ho sbagliato a fare i conti e le stime (cose molto probabili, la prima in particolare);
2) ti sei confuso nel prendere appunti;
3) il professore si è confuso
4) c'è qualcos'altro che sfugge sia a me che a te
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