Chiarimento su proprietà dell'estremo superiore di un insiem
Ragazzi, volevo chiedervi un chiarimento sulla definizione di proprietà dell'estremo superiore di un insieme X. Un insieme X si dice che ha la proprietà dell'estremo superiore se preso un qualunque sottoinsieme E, incluso in X, esso (l'insieme E) è limitato superiormente, quindi possiede maggioranti e dunque estremo superiore. E' giusto quello che ho detto a parole mie?. Inoltre, l'unico insieme che gode della proprietà dell'estremo superiore è l'insieme R, mentre Q non ha questa proprietà, poichè se in Q prendiamo un qualunque sottoinsieme, per esempio {1, rad2}, rad 2 non esiste in Q, quindi non esiste il maggiorante e il sottinsieme di Q non sarà limitato superiormente. Se il mio ragionamento va bene, allora anche gli insiemi N e Z non godono della proprietà dell'estremo superiore dal momento che se prendiamo un qualsiasi sottinsieme in N o Z, come per esempio {2, 3,2}, siccome 3,2 non esiste in N e Q, allora questi insiemi non hanno questa proprietà. Insomma, qualcuno bravo può dirmi se tutto quello che ho detto è corretto? Il mio libro dice che l'insieme Q non ha questa proprietà, ma secondo me anche gli insiemi N e Z non la hanno, o sbaglio? Grazie mille
Risposte
Non è giusto come hai interpretato la proprietà dell'estremo superiore. Anzi per la verità non è giusto nulla del tuo ragionamento. Posta qui per favore la definizione che hai tu di "proprietà dell'estremo superiore" altrimenti non ti si può aiutare. E mi raccomando, usa la sintassi corretta per le formule (clic).
Ti do anche il benvenuto nel forum!
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Ciao, vi scrivo quello che dice il mio libro:
"Si dice che l'insieme X possiede la proprietà dell'estremo superiore, se:
- Ogni insieme E C X non vuoto e limitato superiormente possiede estremo superiore in X.
Si faccia attenzione al contenuto della definizione: non si richiede che X STESSO abbia estremo superiore (infatti se X=Q o R questo è falso), ma che OGNI SOTTOINSIEME NON VUOTO SUPERIORMENTE LIMITATO DI X ne sia provvisto". Fin qui tutto bene. Giustamente il libro dice che R gode della proprietà dell'estremo superiore, mentre Q NO, poichè (questo lo dico io) l'insieme Q comprende solo i numeri razionali e quindi non è completo come l'insieme R (per esempio radice di 2 in Q non esiste). Allora la mia domanda è: siccome il libro non lo specifica, anche gli insiemi N e Z, non essendo completi come R, non godono della proprietà dell'estremo superiore?
Grazie mille, sto cercando di studiare per bene analisi matematica senza tralasciare il minimo particolare.
"Si dice che l'insieme X possiede la proprietà dell'estremo superiore, se:
- Ogni insieme E C X non vuoto e limitato superiormente possiede estremo superiore in X.
Si faccia attenzione al contenuto della definizione: non si richiede che X STESSO abbia estremo superiore (infatti se X=Q o R questo è falso), ma che OGNI SOTTOINSIEME NON VUOTO SUPERIORMENTE LIMITATO DI X ne sia provvisto". Fin qui tutto bene. Giustamente il libro dice che R gode della proprietà dell'estremo superiore, mentre Q NO, poichè (questo lo dico io) l'insieme Q comprende solo i numeri razionali e quindi non è completo come l'insieme R (per esempio radice di 2 in Q non esiste). Allora la mia domanda è: siccome il libro non lo specifica, anche gli insiemi N e Z, non essendo completi come R, non godono della proprietà dell'estremo superiore?
Grazie mille, sto cercando di studiare per bene analisi matematica senza tralasciare il minimo particolare.
$\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ hanno la proprietà dell'estremo superiore, ma non sono dei campi.
$\mathbb{R}$ è l'unico (a meno di isomorfismi) campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore.
$\mathbb{R}$ è l'unico (a meno di isomorfismi) campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore.
Intanto devi specificare una cosa molto importante: non parli di insiemi qualunque ma di insiemi ordinati. Ci vuole una relazione d'ordine per parlare di maggioranti, minoranti, estremi superiori...
Poi, che significa "completo"? Lascia stare questa parola adesso, ti fa confondere. Infatti gli insiemi $NN$ e $ZZ$, muniti della relazione d'ordine $<=$, hanno la proprietà dell'estremo superiore. Prova a dimostrarlo, è un buon esercizio.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Rigel.
Poi, che significa "completo"? Lascia stare questa parola adesso, ti fa confondere. Infatti gli insiemi $NN$ e $ZZ$, muniti della relazione d'ordine $<=$, hanno la proprietà dell'estremo superiore. Prova a dimostrarlo, è un buon esercizio.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Rigel.
"dissonance":
Intanto devi specificare una cosa molto importante: non parli di insiemi qualunque ma di insiemi ordinati. Ci vuole una relazione d'ordine per parlare di maggioranti, minoranti, estremi superiori...
Poi, che significa "completo"? Lascia stare questa parola adesso, ti fa confondere. Infatti gli insiemi $NN$ e $ZZ$, muniti della relazione d'ordine $<=$, hanno la proprietà dell'estremo superiore. Prova a dimostrarlo, è un buon esercizio.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Rigel.
Innanzitutto grazie per le risposte; cerco di procedere per gradi, altrimenti io non capirò voi e voi non capirete quello che voglio dire.
Se il libro dice che R ha questa proprietà, io giustifico le affermazioni del libro ragionando sul fatto che qualunque sottoinsieme limitato prenda in R, esso avrà sempre un maggiorante, e quindi un estremo superiore (il minimo dei maggioranti);
Il libro, poi, dice che Q non ha la proprietà dell'estremo superiore. Secondo me, dunque, la spiegazione di ciò sta nel fatto che Q comprende solo i numeri razionali, quindi non è vero che OGNI sottoinsieme di Q ha estremo superiore, perchè se io considero in Q il sottoinsieme [1, radice di 2], radice di 2 è un numero irrazionale che non appartiene a Q, quindi il sottoinsieme che ho considerato, cioè [1, radice di 2], non può avere maggioranti, quindi estremo superiore e di conseguenza Q non ha la proprietà dell'estremo superiore. Lo stesso ragionamento che ho applicato a Q, quindi, non va applicato anche per gli insiemi N e Z? Dove è che sbaglio?
Gli insiemi $\mathbb{R}$, $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ hanno la proprietà dell'estremo superiore.
Se prendi un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di $\mathbb{Z}$, ad esempio $A=\{..., -9, -8, -7, -3, 11, 57, 113\}$, verifichi subito che $"sup" A = 113$
(per $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ si dimostra che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ha massimo, dunque estremo superiore).
Gli insiemi $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$ sono entrambi dei campi (ordinati) per le operazioni di somma e prodotto (mentre $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$ non lo sono).
L'unico che contemporaneamente è campo ordinato e ha la proprietà dell'estremo superiore è $\mathbb{R}$.
Se prendi un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di $\mathbb{Z}$, ad esempio $A=\{..., -9, -8, -7, -3, 11, 57, 113\}$, verifichi subito che $"sup" A = 113$
(per $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ si dimostra che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ha massimo, dunque estremo superiore).
Gli insiemi $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$ sono entrambi dei campi (ordinati) per le operazioni di somma e prodotto (mentre $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$ non lo sono).
L'unico che contemporaneamente è campo ordinato e ha la proprietà dell'estremo superiore è $\mathbb{R}$.
"Rigel":
Gli insiemi $\mathbb{R}$, $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ hanno la proprietà dell'estremo superiore.
Se prendi un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di $\mathbb{Z}$, ad esempio $A=\{..., -9, -8, -7, -3, 11, 57, 113\}$, verifichi subito che $"sup" A = 113$
(per $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ si dimostra che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ha massimo, dunque estremo superiore).
Gli insiemi $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$ sono entrambi dei campi (ordinati) per le operazioni di somma e prodotto (mentre $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$ non lo sono).
L'unico che contemporaneamente è campo ordinato e ha la proprietà dell'estremo superiore è $\mathbb{R}$.
sto trascurando la definizione di campo ordinato, puoi dirmi semplicemente di che si tratta?
non capisco il collegamento tra campo totalmente ordinato e la proprietà dell'estremo superiore
Infatti la proprietà di campo non è collegata a quella di estremo superiore (che invece è collegata alla relazione d'ordine).
La definizione di campo (che probabilmente trovi anche sul tuo libro) la trovi qui:
http://j.mp/9xCh5U
E' una definizione algebrica che ha a che fare con le operazioni di somma e prodotto.
La definizione di campo (che probabilmente trovi anche sul tuo libro) la trovi qui:
http://j.mp/9xCh5U
E' una definizione algebrica che ha a che fare con le operazioni di somma e prodotto.
@Soscia: Una piccola curiosità: che libro usi?
"gugo82":
@Soscia: Una piccola curiosità: che libro usi?
salsa-pagani analisi I
Rigel, perchè R, N e Z hanno la proprietà dell'estremo superiore e Q no?
"Rigel":
Se prendi un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di $\mathbb{Z}$, ad esempio $A=\{..., -9, -8, -7, -3, 11, 57, 113\}$, verifichi subito che $"sup" A = 113$
(per $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ si dimostra che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ha massimo, dunque estremo superiore).
Allora anche Q ha la proprietà dell'estremo superiore, perchè se prendo un sottoinsieme X di Q non vuoto e limitato superiormente, per esempio (......-1,5, 2,75), c'è l'estremo superiore.
Non è vero.
L'insieme [tex]$\{ x\in \mathbb{Q} :\ x<0 \text{ oppure } x^2<2 \}$[/tex] è limitato superiormente ma non è dotato di estremo superiore in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
L'insieme [tex]$\{ x\in \mathbb{Q} :\ x<0 \text{ oppure } x^2<2 \}$[/tex] è limitato superiormente ma non è dotato di estremo superiore in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
E no, non devi prendere un sottoinsieme. Devi prendere tutti i sottoinsiemi non vuoti e limitati superiormente e vedere se hanno sup. Io direi che almeno uno senza sup lo trovi. Chiaramente non ti mettere a cercare tra gli insiemi finiti! Un insieme finito di numeri, che siano interi, razionali o reali, ha sempre un numero massimo.
"dissonance":
E no, non devi prendere un sottoinsieme. Devi prendere tutti i sottoinsiemi non vuoti e limitati superiormente e vedere se hanno sup. Io direi che almeno uno senza sup lo trovi. Chiaramente non ti mettere a cercare tra gli insiemi finiti! Un insieme finito di numeri, che siano interi, razionali o reali, ha sempre un numero massimo.
Anche in N e Z se prendo tutti i sottoinsiemi possibili almeno uno senza sup lo trovo, per esempio se in N prendo un sottoinsieme i cui valori arrivano fino a 2,1, 2,1 non esiste in N quindi anche N non ha la proprietà dell'estremo superiore!. Dov'è che mi perdo? Perchè N e Z (oltre R) hanno questa proprietà e e solo Q non ce l'ha?
"Soscia":
[quote="dissonance"]E no, non devi prendere un sottoinsieme. Devi prendere tutti i sottoinsiemi non vuoti e limitati superiormente e vedere se hanno sup. Io direi che almeno uno senza sup lo trovi. Chiaramente non ti mettere a cercare tra gli insiemi finiti! Un insieme finito di numeri, che siano interi, razionali o reali, ha sempre un numero massimo.
Anche in $NN$ e $ZZ$ se prendo tutti i sottoinsiemi possibili almeno uno senza sup lo trovo, per esempio se in $NN$ prendo un sottoinsieme i cui valori arrivano fino a $2.1$, $2.1$ non esiste in $NN$ quindi anche $NN$ non ha la proprietà dell'estremo superiore![/quote]
Ma [tex]$\{ n\in \mathbb{N}:\ n<2.1\} =\{ 0,1,2\}$[/tex] e tale insieme ha estremo superiore [tex]$=2$[/tex].
Anzi, è una banale applicazione del principio di buon ordine mostrare che ogni insieme di [tex]$\mathbb{N}$[/tex] o di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] che sia limitato superiormente ha massimo (e quindi estremo superiore).
"Soscia":
Dov'è che mi perdo? Perchè $NN$ e $ZZ$ (oltre $RR$) hanno questa proprietà e e solo $QQ$ non ce l'ha?
La storia è la seguente.
Quando costruisci [tex]$\mathbb{N}$[/tex] ti accorgi che esso ha diverse buone proprietà rispetto all'ordine; in particolare, l'ordine [tex]$\leq$[/tex] è compatibile con le operazioni ed ha il principio di buon ordine. Anzi, è proprio il p.b.o. ad implicare che [tex]$\mathbb{N}$[/tex] ha la proprietà del sup).
Poi costruisci [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] (per motivi algebrici: vuoi poter fare le sottrazioni) e provi che l'ordine [tex]$\leq$[/tex] definito su [tex]$\mathbb{N}$[/tex] lo puoi estendere in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex], però paghi qualcosa: infatti pure se conservi la compatibilità con le operazioni, perdi il principio del buon ordine...
Tuttavia, per vie traverse, riesci a recuperare anche in questo caso la proprietà del sup.
Dopo costruisci [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] (per motivi algebrici: vuoi poter fare le divisioni) e provi che l'ordine [tex]$\leq$[/tex] definito su [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] lo puoi estendere su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex], però anche qui paghi qualcosa: infatti mantieni la compatibilità con le operazioni, però perdi definitivamente la proprietà del sup.
Poi costruisci [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e vedi che l'ordine [tex]$\leq$[/tex] che avevi in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] lo puoi estendere su [tex]$\mathbb{R}$[/tex]: questa volta non solo non perdi la compatibilità con le operazioni, ma addirittura riguadagni la proprietà del sup!
Questo perchè [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è costruito proprio in modo da avere tale proprietà: infatti la proprietà del sup è fondamentale per l'Analisi giacché essa equivale alla possibilità di rappresentare [tex]$\mathbb{R}$[/tex] sulla retta.
Ragazzi, posto un pezzo di spiegazione tratto da wikipedia:
"In matematica, uno spazio metrico completo è un insieme che "non ha buchi". Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali non è completo, perché è pieno di buchi: "manca" ad esempio il numero reale √2." Quindi neanche gli insiemi N e Z sono completi, poichè in Z per esempio 1,2 ( i numeri decimali insomma) non esiste, e in N -3 non esiste. Quindi se Q non ha la proprietà dell'estremo superiore perchè ha buchi (rad 2), neanche Z e N ce l'hanno. Se Q non è completo poichè ha un buco in rad 2, anche N e Z non sono completi, poichè hanno buchi per esempio in 1,2 -54,6, 75,9 ecc...Mi capite?
"In matematica, uno spazio metrico completo è un insieme che "non ha buchi". Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali non è completo, perché è pieno di buchi: "manca" ad esempio il numero reale √2." Quindi neanche gli insiemi N e Z sono completi, poichè in Z per esempio 1,2 ( i numeri decimali insomma) non esiste, e in N -3 non esiste. Quindi se Q non ha la proprietà dell'estremo superiore perchè ha buchi (rad 2), neanche Z e N ce l'hanno. Se Q non è completo poichè ha un buco in rad 2, anche N e Z non sono completi, poichè hanno buchi per esempio in 1,2 -54,6, 75,9 ecc...Mi capite?
Beh, non è esattamente così.
In matematica, uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente.
Di conseguenza, se consideri $\mathbb{Z}$ con l'usuale distanza $|i-j|$ fra due interi $i$ e $j$, vedi subito che $\mathbb{Z}$ è completo (le successioni di Cauchy sono definitivamente costanti, quindi convergenti).
In $\mathbb{Q}$ puoi invece costruire successioni di Cauchy che non sono convergenti. Ad esempio, se prendi $x_1=1.4$, $x_2=1.41$, e in generale se $x_n$ indica il decimale finito (con $n$ cifre decimali) che coincide con $\sqrt{2}$ per le prime $n$ cifre decimali, hai che questa successione è di Cauchy in $\mathbb{Q}$, ma non converge in $\mathbb{Q}$.
Questa questione dei buchi, da te citata, dipende dal fatto che $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ (vale a dire, dato un razionale trovi dei numeri reali vicini quanto ti pare).
Di conseguenza, quando vai a considerare successioni di Cauchy in $\mathbb{Q}$, queste vanno a convergere a elementi di $\mathbb{R}$ (i matematici del forum mi scusino l'imprecisione), che possono anche non stare in $\mathbb{Q}$.
In matematica, uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente.
Di conseguenza, se consideri $\mathbb{Z}$ con l'usuale distanza $|i-j|$ fra due interi $i$ e $j$, vedi subito che $\mathbb{Z}$ è completo (le successioni di Cauchy sono definitivamente costanti, quindi convergenti).
In $\mathbb{Q}$ puoi invece costruire successioni di Cauchy che non sono convergenti. Ad esempio, se prendi $x_1=1.4$, $x_2=1.41$, e in generale se $x_n$ indica il decimale finito (con $n$ cifre decimali) che coincide con $\sqrt{2}$ per le prime $n$ cifre decimali, hai che questa successione è di Cauchy in $\mathbb{Q}$, ma non converge in $\mathbb{Q}$.
Questa questione dei buchi, da te citata, dipende dal fatto che $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ (vale a dire, dato un razionale trovi dei numeri reali vicini quanto ti pare).
Di conseguenza, quando vai a considerare successioni di Cauchy in $\mathbb{Q}$, queste vanno a convergere a elementi di $\mathbb{R}$ (i matematici del forum mi scusino l'imprecisione), che possono anche non stare in $\mathbb{Q}$.
E poi che significa "non ha buchi"? Questa non è una definizione ma solo un'idea intuitiva, non puoi basarti su di essa. Inoltre, lascia stare Wikipedia. Quando si è agli inizi può essere devastante. Concentrati sul tuo libro che è ottimo e se proprio vuoi consultare altre fonti prendi degli altri libri con buona reputazione.
Allora, io frequento il primo anno di ingegneria, quindi a parte qualcosa sui limiti, derivate e integrali non so molto di Analisi, perciò mi vengono spesso dei dubbi che non riesco a colmare, anche leggendo attentamente il libro, per esempio il mio libro dice che Q non gode della proprietà dell'estremo superiore, ma di N e Z non dice niente, quindi io mi pongo queste domande e cerco di capire, invano finora. Qualcuno qui sopra mi parla di successioni di Cauchy ecc..., ma io non so di che si tratta quindi per me è difficile capire tutto bene, mi comprendete?
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