Chiarimento su proprietà dell'estremo superiore di un insiem
Ragazzi, volevo chiedervi un chiarimento sulla definizione di proprietà dell'estremo superiore di un insieme X. Un insieme X si dice che ha la proprietà dell'estremo superiore se preso un qualunque sottoinsieme E, incluso in X, esso (l'insieme E) è limitato superiormente, quindi possiede maggioranti e dunque estremo superiore. E' giusto quello che ho detto a parole mie?. Inoltre, l'unico insieme che gode della proprietà dell'estremo superiore è l'insieme R, mentre Q non ha questa proprietà, poichè se in Q prendiamo un qualunque sottoinsieme, per esempio {1, rad2}, rad 2 non esiste in Q, quindi non esiste il maggiorante e il sottinsieme di Q non sarà limitato superiormente. Se il mio ragionamento va bene, allora anche gli insiemi N e Z non godono della proprietà dell'estremo superiore dal momento che se prendiamo un qualsiasi sottinsieme in N o Z, come per esempio {2, 3,2}, siccome 3,2 non esiste in N e Q, allora questi insiemi non hanno questa proprietà. Insomma, qualcuno bravo può dirmi se tutto quello che ho detto è corretto? Il mio libro dice che l'insieme Q non ha questa proprietà, ma secondo me anche gli insiemi N e Z non la hanno, o sbaglio? Grazie mille
Risposte
Indubbiamente questa parte di teoria non è facile da capire la prima volta che la si incontra.
Le nozioni di successione di Cauchy e di completezza le dovresti incontrare a breve (se usi il Pagani-Salsa). Forse a quel punto qualcosa ti sarà più chiaro.
Non è molto utile, adesso, scriverti un trattato che trovi sicuramente scritto meglio sul tuo libro.
Comunque riguardo questa famigerata proprietà dell'estremo superiore:
come già sai, $\mathbb{Q}$ non ce l'ha; invece, come ti ho già scritto, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$ ce l'hanno
(questi ultimi due anche se non c'è scritto esplicitamente sul tuo libro).
Le nozioni di successione di Cauchy e di completezza le dovresti incontrare a breve (se usi il Pagani-Salsa). Forse a quel punto qualcosa ti sarà più chiaro.
Non è molto utile, adesso, scriverti un trattato che trovi sicuramente scritto meglio sul tuo libro.
Comunque riguardo questa famigerata proprietà dell'estremo superiore:
come già sai, $\mathbb{Q}$ non ce l'ha; invece, come ti ho già scritto, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$ ce l'hanno
(questi ultimi due anche se non c'è scritto esplicitamente sul tuo libro).
ok, allora procederò con la lettura del libro e cercherò di capire di più, comunque, oltre al pagani-salsa, c'è qualche altro libro buono di analisi I da affiancare eventualmente al primo? Per esempio, il pagani-salsa non dà la definizione di funzioni suriettive, iniettive e biettive e questo mi sembra un pò riduttivo, perciò volevo che mi consigliaste un ulteriore libro
Sulla mia copia del Pagani-Salsa esiste un paragrafo 4.4, intitolato "Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa.".
io non lo trovo, ma a te nell'indice analitico viene citata la parola suriettivo, iniettivo ecc...? A me No, non vorrei che la mia copia sia diversa, il mio libro si intitola Analisi matematca 1, autori: Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa. l'ho comprato qualche giorno fa alla libreria universitaria ed in totale ha 382 pagine
La mia copia è come questa:
http://www.webster.it/libri-analisi_mat ... 064851.htm
La mia copia è come questa:
http://www.webster.it/libri-analisi_mat ... 064851.htm
Ahhhhhhhhhhh.
Allora non si tratta del Pagani-Salsa!
Sono due mondi diversi (in effetti mi sembrava strano che in qualche corso di ingegneria si utilizzasse ancora il Pagani-Salsa).
Se vuoi un buon libro d'analisi, prendi il Pagani-Salsa (senza altri autori aggiuntivi). Ti avviso che, però, non è di facilissima lettura.
Allora non si tratta del Pagani-Salsa!
Sono due mondi diversi (in effetti mi sembrava strano che in qualche corso di ingegneria si utilizzasse ancora il Pagani-Salsa).
Se vuoi un buon libro d'analisi, prendi il Pagani-Salsa (senza altri autori aggiuntivi). Ti avviso che, però, non è di facilissima lettura.
Però gli autori del libro che ho sono ugualmente pagani e salsa, ad eccezione di bramanti. Effettivamente il libro che ho ora non mi convince al 100%. Dove lo trovo il pagani-salsa vero e proprio? Puoi postarmi la foto di una copertina così non mi sbaglio?
In qualsiasi libro che cerco su internet c'è sempre Bramanti in mezzo!
Non importa se è un pò difficile da leggere, basta che dice tutto e che non lascia dubbi per la testa
In qualsiasi libro che cerco su internet c'è sempre Bramanti in mezzo!
Non importa se è un pò difficile da leggere, basta che dice tutto e che non lascia dubbi per la testa
Ti conviene prenderlo in biblioteca e dargli un'occhiata, così puoi decidere se fa al caso tuo:
C.D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 1" (548 p.)
http://j.mp/begGdX
C.D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 1" (548 p.)
http://j.mp/begGdX
si trova ancora in giro questo libro?
per caso è questo il libro?
http://www.bol.it/libri/Analisi-matemat ... 880809259/
per caso è questo il libro?
http://www.bol.it/libri/Analisi-matemat ... 880809259/
Ok, ma questo libro va bene per chi non sa moltissimo di analisi, oppure richiede particolari prerequisiti?
Prima veniva comunemente adottato per il primo anno di ingegneria.
Non richiede particolari prerequisiti, ma richiede che uno si dia da fare per capire.
Comunque, ribadisco il consiglio: prendilo in prestito in biblioteca e vedi se fa al caso tuo.
Non richiede particolari prerequisiti, ma richiede che uno si dia da fare per capire.
Comunque, ribadisco il consiglio: prendilo in prestito in biblioteca e vedi se fa al caso tuo.
ok, grazie mille
Mi rendo conto di essere arrivato oltre il tempo massimo, ma scrivo in modo che se qualcun'altro si fosse posto la stessa domanda dell'utente lisdap, abbia modo di comprendere il concetto.
Ricordando che l'estremo superiore è il più piccolo tra i maggioranti di un insieme A, prendiamo ad esempio l'insieme A={1, rad2}
In R, l'insieme A possiede infiniti maggioranti, di cui il più piccolo, ovvero l'estremo superiore, è rad2 stesso.
In Q, l'insieme A possiede infiniti maggioranti: 3/2=1,5 è uno di questi, in quanto 1,5 appartiene a Q ed è più grande di rad2=1,41421356.... Tuttavia, possiamo dire che 3/2=1,5 sia il più piccolo tra tutti i maggioranti, ovvero che sia l'estremo superiore? La risposta è no. Ad esempio, anche 71/50=1,42 è un maggiorante di rad2=1,41421356..., appartiene a Q ed è più piccolo di 3/2=1,5. Possiamo quindi dire che 71/50=1,42 sia l'estremo superiore di rad2? No. Ad esempio, 283/200=1,415 è anch'esso un maggiorante di rad2=1,41421356..., appartiene a Q ed è più piccolo di 71/50=1,42. Si capisce quindi che iterando questo procedimento, si troverà sempre un maggiorante di rad2 che sia più piccolo di un qualsiasi altro maggiorante. Per questo motivo, in Q non può essere definito l'estremo superiore (o per lo meno in casi come questo).
In Z ed N, l'insieme A possiede infiniti maggioranti: tuttavia, 2 è il maggiorante più piccolo che si possa trovare. Non esiste, infatti, un numero appartenente a Z (o ad N) che sia più grande di rad2=1,41421356... e al tempo stesso più piccolo di 2. Motivo per cui l'estremo superiore di A in Z (ed in N) esiste ed è 2.
Ricordando che l'estremo superiore è il più piccolo tra i maggioranti di un insieme A, prendiamo ad esempio l'insieme A={1, rad2}
In R, l'insieme A possiede infiniti maggioranti, di cui il più piccolo, ovvero l'estremo superiore, è rad2 stesso.
In Q, l'insieme A possiede infiniti maggioranti: 3/2=1,5 è uno di questi, in quanto 1,5 appartiene a Q ed è più grande di rad2=1,41421356.... Tuttavia, possiamo dire che 3/2=1,5 sia il più piccolo tra tutti i maggioranti, ovvero che sia l'estremo superiore? La risposta è no. Ad esempio, anche 71/50=1,42 è un maggiorante di rad2=1,41421356..., appartiene a Q ed è più piccolo di 3/2=1,5. Possiamo quindi dire che 71/50=1,42 sia l'estremo superiore di rad2? No. Ad esempio, 283/200=1,415 è anch'esso un maggiorante di rad2=1,41421356..., appartiene a Q ed è più piccolo di 71/50=1,42. Si capisce quindi che iterando questo procedimento, si troverà sempre un maggiorante di rad2 che sia più piccolo di un qualsiasi altro maggiorante. Per questo motivo, in Q non può essere definito l'estremo superiore (o per lo meno in casi come questo).
In Z ed N, l'insieme A possiede infiniti maggioranti: tuttavia, 2 è il maggiorante più piccolo che si possa trovare. Non esiste, infatti, un numero appartenente a Z (o ad N) che sia più grande di rad2=1,41421356... e al tempo stesso più piccolo di 2. Motivo per cui l'estremo superiore di A in Z (ed in N) esiste ed è 2.
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