Chiarimento su limiti e serie
ciao. sto facendo un po' di esercizi e ho alcuni dubbi su alcune cose.
se ad esempio ho $\lim_{n \to \0}x^2+x^3+e^(-x)$ posso scrivere che è asintotico a $x^2+1$? dato che $e^(-x)$ con $x=0$ è 1 e il polinomio si comporta come il monomio di grado minore... E' giusto il ragionamento?
un altro dubbio è se io ho $\sum_{n=0}^\infty 3/(n+logn)$ posso dire che è asintotico (peri il criterio del confronto asintotico) a $3/n$ e che quindi converge?
se ho $\sum_{n=0}^\infty (sqrt(n)+sin(n))/(n+2)$ posso dire che è asintotico a $sqrt(n)/n$ e riportarlo alla serie generica $1/n^(1/2)$ e che quindi dato che $1/2<1$ la serie diverge?
se ho $\sum_{n=0}^\infty (sqrt(n)+cos(n))/(n^2-n+1)$ è asintotico a $sqrt(n)/n^2$ e riportarlo alla serie generica di prima e dire che converge perchè sta volta è maggiore di 1?
se ad esempio ho $\lim_{n \to \0}x^2+x^3+e^(-x)$ posso scrivere che è asintotico a $x^2+1$? dato che $e^(-x)$ con $x=0$ è 1 e il polinomio si comporta come il monomio di grado minore... E' giusto il ragionamento?
un altro dubbio è se io ho $\sum_{n=0}^\infty 3/(n+logn)$ posso dire che è asintotico (peri il criterio del confronto asintotico) a $3/n$ e che quindi converge?
se ho $\sum_{n=0}^\infty (sqrt(n)+sin(n))/(n+2)$ posso dire che è asintotico a $sqrt(n)/n$ e riportarlo alla serie generica $1/n^(1/2)$ e che quindi dato che $1/2<1$ la serie diverge?
se ho $\sum_{n=0}^\infty (sqrt(n)+cos(n))/(n^2-n+1)$ è asintotico a $sqrt(n)/n^2$ e riportarlo alla serie generica di prima e dire che converge perchè sta volta è maggiore di 1?
Risposte
Perché, secondo te [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{n}[/tex] converge?
a no diverge perchè alfa è uguale a 1 quindi è asintotico a $1/n$ che diverge 
per il resto è giusto?
per il resto è giusto?
Direi di sì, non mi sembra ci sia niente di sbagliato.
quindi è giusto quando ci sono tipo $sin(n)$ eliminarlo o eliminare le cifre dalle equazioni come 1,2,3?
Mah, dirlo così in modo brutale forse è scorretto e potenzialmente pericoloso! Ricorda cosa significa essere asintotico ad una certa successione/funzione.
Si dice che [tex]f\sim g\iff \displaystyle \underset{x\to x_0}\lim \frac{f(x)}{g(x)}=1[/tex] e chiaramente ciò vale anche per successioni.
Ad esempio, con la tua successione [tex]\displaystyle \frac{\sqrt{n} + \sin (n) }{n+2}[/tex] puoi fare quello che hai fatto in quanto
[tex]\displaystyle\frac {\sqrt{n}+\sin(n)}{n+2}\cdot \frac{n}{\sqrt{n}}=\frac{n}{n+2}\cdot \left (1+\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}\right )\to 1\Rightarrow \displaystyle \frac{\sqrt{n} + \sin (n) }{n+2}\sim\frac{\sqrt{n}}{n}[/tex]
Si dice che [tex]f\sim g\iff \displaystyle \underset{x\to x_0}\lim \frac{f(x)}{g(x)}=1[/tex] e chiaramente ciò vale anche per successioni.
Ad esempio, con la tua successione [tex]\displaystyle \frac{\sqrt{n} + \sin (n) }{n+2}[/tex] puoi fare quello che hai fatto in quanto
[tex]\displaystyle\frac {\sqrt{n}+\sin(n)}{n+2}\cdot \frac{n}{\sqrt{n}}=\frac{n}{n+2}\cdot \left (1+\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}\right )\to 1\Rightarrow \displaystyle \frac{\sqrt{n} + \sin (n) }{n+2}\sim\frac{\sqrt{n}}{n}[/tex]
A ok ma comunque non penso sia contato come errore agire cosi! Sono tutti giusti gli esercizi, no?
Non è un errore visibile in quanto facendo in quel modo si sottointende che tu abbia presente il concetto di confronto asintotico; però concettualmente l'idea di "eliminare seni e costanti" è un errore, visto che non c'è nessun teorema che ti permette di agire così.
Ok! Grazie mille! Mi hai chiarito il dubbio! Sapresti darmi altri asintotici "notevoli" per x che tende a infinito? Ad esempio logx a infinito si comporta come x?
Ti dico quelli che mi tornano in mente ora. Sia [tex]a_n\to 0\text{ per }n\to\infty[/tex]. Allora
[tex]\displaystyle\\
\log(1+a_n)\sim a_n,\\
\sin(a_n)\sim a_n, \\
1-\cos(a_n)\sim \frac{a_n^2}{2}, \\
\tan(a_n)\sim a_n,\\
\arctan(a_n)\sim a_n\\
(1+a_n)^{\alpha}\sim 1+\alpha a_n,\\
e^{a_n}\sim 1+a_n[/tex]
[tex]\displaystyle\\
\log(1+a_n)\sim a_n,\\
\sin(a_n)\sim a_n, \\
1-\cos(a_n)\sim \frac{a_n^2}{2}, \\
\tan(a_n)\sim a_n,\\
\arctan(a_n)\sim a_n\\
(1+a_n)^{\alpha}\sim 1+\alpha a_n,\\
e^{a_n}\sim 1+a_n[/tex]
sisi questi li conoscio! li ho studiati a memoria! ma dico... tipo nel limite che ho fatto togliendo $sin(n)$, n non va a 0 ma a infinito e l'ho tolto! io intendo gli asintotici per x che va a infinito, non zero!
li ho studiati a memoria! ma dico... tipo nel limite che ho fatto togliendo $sin(n)$, n non va a 0 ma a infinito e l'ho tolto! io intendo gli asintotici per x che va a infinito, non zero!
Ma hai guardato i passaggi che ti ho fatto? Quel seno mica l'hai tolto perché era asintotico a qualcosa, se ne va per via di un'operazione di limite ben precisa. Riguarda quello che avevo scritto.
Non ho capito cosa intendi! Forse lo togli perchè al denominatore nella parentesi c'è radice di n che tende ad infinito e quindi quello sopra si annulla? sinceramente pensavo che il seno andasse via sempre all'infinito in un'equazione!
Mi sa che stai facendo una notevole confusione. Equazione? Annullarsi?
Devi solo notare che c'è una grossa differenza tra quello che si fa sostituendo [tex]n+2[/tex] al denominatore con [tex]n[/tex] e quello che si fa trascurando [tex]\sin(n)[/tex] al numeratore. Nel primo caso, non è che "si butta via il 2", si ha che [tex]n+2\sim n[/tex] quando [tex]n\to \infty[/tex]; nel secondo caso, invece, [tex]\displaystyle \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}\to 0[/tex], come si vede nei passaggi che ti avevo fatto.
Devi solo notare che c'è una grossa differenza tra quello che si fa sostituendo [tex]n+2[/tex] al denominatore con [tex]n[/tex] e quello che si fa trascurando [tex]\sin(n)[/tex] al numeratore. Nel primo caso, non è che "si butta via il 2", si ha che [tex]n+2\sim n[/tex] quando [tex]n\to \infty[/tex]; nel secondo caso, invece, [tex]\displaystyle \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}\to 0[/tex], come si vede nei passaggi che ti avevo fatto.
sisi! ho capito! ma perchè tende a 0? perchè radice di n tende a infinito e quindi tutto tende a zero? è questa la motivazione?
Si tratta del prodotto della successione limitata [tex]\sin(n)[/tex] e della successione infinitesima [tex]1/\sqrt{n}[/tex]. Volendo, puoi anche usare il teorema dei carabinieri: poiché [tex]-1<\sin(n)<1\,\,\forall n\in\mathbb{N}[/tex],
[tex]\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
da cui, poiché [tex]\pm 1/\sqrt{n}\to 0[/tex], si trova la tesi.
[tex]\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
da cui, poiché [tex]\pm 1/\sqrt{n}\to 0[/tex], si trova la tesi.
ok ora ho capito! grazie mille! e se tipo avessi $log(n)$ per n che tende a infinito posso sostituirlo con $n$?
Assolutamente no! Per quanto il logaritmo non sia una funzione limitata, vale che [tex]\displaystyle \frac{\log(n)}{n^\alpha}\to0\,\,\forall \alpha>0[/tex].
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