Chiarimento su Limiti di funzioni razionali fratte
Salve ragazzi, mi chiamo Corrado e ho iniziato da poco Analisi 1. E' il mio primo post e spero di aver fatto bene.
Mi accingevo a calcolare il limite seguente:
$ lim_(x -> +oo ) (2\log_{1/3}\(x)+3)/(6\log_{1/4}{\frac(x+1)x}) $
Considerando l'argomento del logaritmo al denominatore sono entrato in crisi. Per x che tende a $ +oo $ , fa $ oo/oo $ e, risolvendo, considerando gli ordini di infinito uguali, fa 1. E fino a qui penso di non sbagliare, anche perchè fattorizzando ho:
$ (x(1+1/x))/x $
e semplificando le x mi resta solo $ 1+(1/x) $ che fa 1 (il limite a $ +oo $ dico)
Il problema è che il limite al denominatore deve fare $ 0^- $ , ma se io ho semplicemente 1, come faccio a sapere se ho $ 0^- $ o $ 0^+ $ ?
Grazie in anticipo e ciao.
Corrado.
Mi accingevo a calcolare il limite seguente:
$ lim_(x -> +oo ) (2\log_{1/3}\(x)+3)/(6\log_{1/4}{\frac(x+1)x}) $
Considerando l'argomento del logaritmo al denominatore sono entrato in crisi. Per x che tende a $ +oo $ , fa $ oo/oo $ e, risolvendo, considerando gli ordini di infinito uguali, fa 1. E fino a qui penso di non sbagliare, anche perchè fattorizzando ho:
$ (x(1+1/x))/x $
e semplificando le x mi resta solo $ 1+(1/x) $ che fa 1 (il limite a $ +oo $ dico)
Il problema è che il limite al denominatore deve fare $ 0^- $ , ma se io ho semplicemente 1, come faccio a sapere se ho $ 0^- $ o $ 0^+ $ ?
Grazie in anticipo e ciao.
Corrado.
Risposte
Non so se è il modo migliore ma io farei così:
Pongo $t=1/x$
$ lim_(t -> 0 ) (2\log_{1/3}\(1/t)+3)/(6\log_{1/4}\(1+t)) $
$ lim_(t -> 0 ) (-2\log_{1/3}\(t)+3)/(6\log_{1/4}\(1+t)) $
$ lim_(t -> 0 ) [(-2\log_{1/3}\(t)+3)/t]/[(6\log_{1/4}\(1+t))/t] $
Al numeratore abbiamo zero, al denominatore $-6/ln (4)$ quindi il risultato dovrebbe essere zero.
Pongo $t=1/x$
$ lim_(t -> 0 ) (2\log_{1/3}\(1/t)+3)/(6\log_{1/4}\(1+t)) $
$ lim_(t -> 0 ) (-2\log_{1/3}\(t)+3)/(6\log_{1/4}\(1+t)) $
$ lim_(t -> 0 ) [(-2\log_{1/3}\(t)+3)/t]/[(6\log_{1/4}\(1+t))/t] $
Al numeratore abbiamo zero, al denominatore $-6/ln (4)$ quindi il risultato dovrebbe essere zero.
La soluzione del limite èè $ ((-oo)/0^-)=+oo $ . Lo zero di cui parlo io è quello al denominatore. I effetti questa discussione può essere fatta tendo conto del solo limite dell'argomento del logaritmo al denimonatore che deve dare $ 1^+ $ e non semplicemente 1, affinchè il logaritmo dia $ 0^- $.
"Draghignazzo":
e semplificando le x mi resta solo $ 1+(1/x) $ che fa 1 (il limite a $ +oo $ dico)
Il problema è che il limite al denominatore deve fare $ 0^- $ , ma se io ho semplicemente 1, come faccio a sapere se ho $ 0^- $ o $ 0^+ $ ?
mmmhhhh no. non hai "semplicemente 1" hai $1+0^+$, mi pare, ovvero $1^+$....o no?
Ma allora perchè sotto fa $ 0^- $ ?...
...per via della base < 1
se non ci credi fai una prova: $1^+=1,001$
$log_{1/4}1,001=x$ -> $(1/4)^x=1,001$
$xln(1/4)=ln1,001$
$x=-0,0007$
$log_{1/4}1,001=x$ -> $(1/4)^x=1,001$
$xln(1/4)=ln1,001$
$x=-0,0007$
Si, fin quì è chiaro. Dove non arrivo è come viene $ 1^+ $. Mi spiego meglio:
se ho $ (x+1)/x $ va bene, mettendo in evidenza la $ x $ e poi semplificavndo viene $ 1+0^+ $ che viene $ 1^+ $. Ma allora se ho questo limite:
$ \lim_{x\to oo}(x^2+x-1)/(x^2) $
mettendo in evidenza $ x^2 $ e poi semplificando mi viene $ 1+0^(+)- 0^+ $. Cosa viene? solo 1? o altro. Qual'è il procedimento generale?
se ho $ (x+1)/x $ va bene, mettendo in evidenza la $ x $ e poi semplificavndo viene $ 1+0^+ $ che viene $ 1^+ $. Ma allora se ho questo limite:
$ \lim_{x\to oo}(x^2+x-1)/(x^2) $
mettendo in evidenza $ x^2 $ e poi semplificando mi viene $ 1+0^(+)- 0^+ $. Cosa viene? solo 1? o altro. Qual'è il procedimento generale?
"Draghignazzo":
Ma allora se ho questo limite:
$ \lim_{x\to oo}(x^2+x-1)/(x^2) $
Cosa viene? solo 1? o altro. Qual'è il procedimento generale?
non viene mai "solo 1"....è calcolo "al limite" il risultato è sempre asintotico.....tende a 1....
il procedimento generale consiste nell'"analisi matematica" [nel caso in oggetto è $1^+$]
"Draghignazzo":
mi viene $ 1+0^(+)- 0^+ $. Cosa viene? solo 1? o altro. Qual'è il procedimento generale?
E' questo il problema di usare \(0, 0^{\pm}, \pm \infty\) come fossero numeri: quando capitano forme di indeterminazione (come la tua $0^+-0^+$) non si possono più manipolare algebricamente. (Questa non è altro che la ripetizione in linguaggio più forbito di quello che già ha detto tommik. Per inciso, personalmente preferisco evitare completamente questo tipo di manipolazioni algebriche allargate.)
Il "procedimento generale" consiste nelle tecniche per calcolare limiti in presenza di forme di indeterminazione. In questo caso ad esempio conviene riscrivere la frazione così:
\[
\frac{x^2+x-1}{x^2}=1+\frac{1}{\lvert x\rvert}-\frac{1}{x^2}.\]
Si vede subito, ora, che il limite è $1$.
Perché hai messo il valore assoluto alla $x$?
Meglio prendere il riflesso condizionato di metterlo, quando si semplificano i quadrati. E poi, con la dicitura $x\to \infty$ certe volte qualcuno indica anche $x\to -\infty$. Quindi, nel dubbio, lasciamocelo il valore assoluto.
Ah, è una precauzione non una necessità ... mi era venuto qualche dubbio ... 
Intanto ragazzi vi ringrazio per le risposte, Siete grandi. Ancora la questione non mi è chiara. OK tende a 1. ma a me serve sapere se tende a 1 da destra o da sinistra, perchè lo devo mettere come argomento del logaritmo al denominatore del limite iniziale, che deve tendere a $ 0^- $ . Quello che mi chiedo è se il calcolo del limite mi da questa informazione o no.
"dissonance":
\[
\frac{x^2+x-1}{x^2}=1+\frac{1}{\lvert x\rvert}-\frac{1}{x^2}.\]
E' tutto scritto qua. Hai un
\[ 1 + \text{ una certa quantità }.\]
Se questa quantità è positiva in un intorno di $x=+\infty$, è un "$1$ da destra" o "$1^+$". Se questa quantità è negativa in un intorno di $x=-\infty$, è un "$1$ da sinistra" o "$1^-$". Altrimenti è un $1$ senza segno.
Devi quindi studiare il segno di \(\frac{1}{\lvert x\rvert}-\frac{1}{x^2}\) in un intorno di $x=+\infty$.
Quindi, sempre considerando
$ \lim_{x\to +oo}frac{x^2}{x^2+x+1} $
mettendi in evidenla e poi semplificando avro:
$ \lim_{x\to +oo}frac{x^2}{x^2+x+1}=lim_{x\to +oo}frac{1}{1+1/x+1/x^2}=(1)/(1+0^++0^+)=1/1^+ $
e se faccio $ 1/1.1 $ fa 0.9, cioè $ 1^-$.
E' giusto il ragionamento?
$ \lim_{x\to +oo}frac{x^2}{x^2+x+1} $
mettendi in evidenla e poi semplificando avro:
$ \lim_{x\to +oo}frac{x^2}{x^2+x+1}=lim_{x\to +oo}frac{1}{1+1/x+1/x^2}=(1)/(1+0^++0^+)=1/1^+ $
e se faccio $ 1/1.1 $ fa 0.9, cioè $ 1^-$.
E' giusto il ragionamento?
Non c'era un $-1$ alla fine?
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