Chiarimento su limite
salve dato che di questo esercizio non ho la soluzione ho bisogno solo di sapere se ho fatto bene perchè una parte non mi torna.
l'esercizio è il seguente:
$ lim_(x -> 0) ((cosx)^(1/x)-1)/(x^a) $
inizialmente ho considerato la parte del coseno elevata a $ 1/x $ che è una forma $ 1^oo $, l'ho messa sotto forma $ e^(log(cosx)/x) $ e ho analizzato a parte $ (log(cosx)/x) $ che è una forma 0/0 quindi ho applicato l'hopital ottenendo $ (senx)/cosx=tgx $ quindi $ tgx $ è asintotico a $ x $ e tornando alla forma originale ho ottenuto $ ((cosx)^(1/x)-1)/(x^a)= (e^x-1)/x^a $ ora il numeratore di quest'ultima è uguale a $ x $ e quindi alla fine devo analizzare $ x^(1-a) $ a questo punto ho concluso che per a=1 il limite fa 1; per a<1 il limite fa 0 e infine per a>1 il limite va a infinito.
utilizzando un calcolatore online ho provato a verificare la soluzione ma per a=1 mi da che il limite è = -1/2; ho sbagliato da qualche parte nel mio ragionamento?
grazie in anticipo.
l'esercizio è il seguente:
$ lim_(x -> 0) ((cosx)^(1/x)-1)/(x^a) $
inizialmente ho considerato la parte del coseno elevata a $ 1/x $ che è una forma $ 1^oo $, l'ho messa sotto forma $ e^(log(cosx)/x) $ e ho analizzato a parte $ (log(cosx)/x) $ che è una forma 0/0 quindi ho applicato l'hopital ottenendo $ (senx)/cosx=tgx $ quindi $ tgx $ è asintotico a $ x $ e tornando alla forma originale ho ottenuto $ ((cosx)^(1/x)-1)/(x^a)= (e^x-1)/x^a $ ora il numeratore di quest'ultima è uguale a $ x $ e quindi alla fine devo analizzare $ x^(1-a) $ a questo punto ho concluso che per a=1 il limite fa 1; per a<1 il limite fa 0 e infine per a>1 il limite va a infinito.
utilizzando un calcolatore online ho provato a verificare la soluzione ma per a=1 mi da che il limite è = -1/2; ho sbagliato da qualche parte nel mio ragionamento?
grazie in anticipo.
Risposte
la derivata di $logcosx$ è uguale a $-tgx$
ok grazie e quindi sappiamo da dove esce il meno ma ancora non mi è chiaro perchè il calcolatore mi da come risultato -1/2; non capisco ancora da dove viene il 2.
l'errore concettuale è quello di dire che $(log(cosx))/x$ è asintotico a $-tgx$
in generale, $ lim_(x -> c)(f(x))/ g(x)=lim_(x -> c)(f'(x))/(g'(x)) $
non implica che gli argomenti dei due limiti siano asintotici per $x rarr c$
a questo punto,ti consiglio di mettere il limite in questa forma
$ lim_(x -> 0)(e^(ln(cosx)/x)- 1)/(ln(cosx)/x )cdot(ln(cosx))/x^(alpha+1) $
in generale, $ lim_(x -> c)(f(x))/ g(x)=lim_(x -> c)(f'(x))/(g'(x)) $
non implica che gli argomenti dei due limiti siano asintotici per $x rarr c$
a questo punto,ti consiglio di mettere il limite in questa forma
$ lim_(x -> 0)(e^(ln(cosx)/x)- 1)/(ln(cosx)/x )cdot(ln(cosx))/x^(alpha+1) $
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