Chiarimento su funzione continua limitata e punto fisso

[matematicando96]

Buongiorno,
leggendo a riguardo del Teorema del punto fisso di Brouwer,
la definizione preclude che la funzione sia definita nell'intervallo [0,1],
oppure che sia un sottoinsieme compatto convesso e non vuoto di Rn.
Ma non capisco perché proprio per l'intervallo [0,1], si può dimostrare
che esista un punto fisso per una generica funzione f: X ----> X continua in X = {a,b}?

Inoltre mi potreste illustrare una dimostrazione?

Grazie mille in anticipo,
Francesco

[dissonance]

Va bene qualsiasi intervallo chiuso e limitato, del resto gli intervalli chiusi e limitati sono convessi e compatti e quindi questo caso fa parte del teorema generale che enunci dopo.

Sicuramente la pagina che stai leggendo ha intenzione di dimostrare il teorema solo su $[0,1]$ lasciando detto che vale nel caso generale. Quanto alla dimostrazione, la trovi su tutti i libri. Nel caso multidimensionale si usano metodi topologici, nel caso di $[0, 1]$ puoi cavartela con il teorema degli zeri. Considera la funzione
\[
g(x)=f(x)-x, \]
e dimostra che ha almeno uno zero in \(x\in[0, 1]\). HINT: è facile.

[matematicando96]

Ok, si credo che la dimostrazione per zeri sia quella più conveniente, quindi dimostrandola vera per l'intervallo [0,1] dimostriamo che sia vera per qualsiasi intervallo [a,b] generico?
Mi potresti anche far vedere i passaggi della dimostrazione, per favore?

Poi un'altra curiosità: in quali condizioni abbiamo la presenza di più di un punto fisso?

[dissonance]

Mi potresti fare vedere i passaggi della dimostrazione

No. Devi saperla fare da solo, almeno per \(f\colon [0, 1]\to[0,1]\), è veramente immediata.

Una volta dimostrata per $[0, 1]$, la versione generale sugli intervalli si può dimostrare con un cambio di variabile. Se \(f\colon [a, b]\to [a,b]\) allora definisci un'altra funzione \(\tilde{f}\colon[0, 1]\to [0, 1]\) come segue:
\[\tag{1}
\tilde{f}(x)=\frac{ f((b-a)x+a) - a }{b-a}.\]
La funzione \(\tilde{f}\colon[0,1]\to [0, 1]\) ha un punto fisso se e solo se \(f\) ha un punto fisso, come puoi verificare facilmente.

Se vuoi dei dettagli su come ho trovato questa funzione \(\tilde f\), ne possiamo parlare.

[killing_buddha]

Per l'ultima domanda: non si puo' dire, perche' la dimostrazione generale non e' costruttiva. Quella che conosco io poi avviene sul disco ed e' equivalente all'asserto che non esiste una retrazione continua del disco sul suo bordo (averla equivale a una funzione senza punti fissi dal disco in se').

Per $[0,1]$ forse si puo' usare una tattica simile alla bisezione, restringendo via via a intervalli piu' corti $[0,1]$.

[matematicando96]

Si era banale
Mi potresti dire come hai ottenuto la seconda funzione per generalizzare la dimostrazione ad un qualsiasi intervallo?

[killing_buddha]

"matematicando96":Si era banale
Mi potresti dire come hai ottenuto la seconda funzione per generalizzare la dimostrazione ad un qualsiasi intervallo?

Chiama $\tau_{a,b}$ la funzione $[0,1]\to [a,b]$ che manda $t$ in $(b-a)t+a$; è biiettiva. $\tilde f$ si ottiene coniugando $f$ con $\tau_{a,b}$.

[dissonance]

Dal punto di vista teorico è esattamente come dice killing_buddha. In pratica ho fatto i seguenti conti. Per prima cosa ho scritto \(y=f(x)\). Voglio introdurre due nuove variabili \(\tilde y, \tilde x\) e una funzione \(\tilde f\), legate dalla relazione \(\tilde y= \tilde f(\tilde x)\). Devo calcolare una espressione per \(\tilde f\).

Per prima cosa devo prescrivere delle relazioni che leghino \(x\) a \(\tilde x\) e \(y\) a \(\tilde y\). Voglio che, quando \(x\) spazza \([a, b]\), \(\tilde x\) spazzi \([0, 1]\). Quindi
\[
\tilde x = \frac{ x-a}{b-a}.\]
Conviene calcolare anche la relazione inversa:
\[
x= \tilde x (b-a) +a.\]
Stessa cosa per \(y\) e \(\tilde y\): \(y=\tilde y(b-a)+a.\) Ora inserisco queste due relazioni in \(y=f(x)\), ottenendo
\[
\tilde y= \frac{ \tilde f ((b-a)\tilde x + a) -a }{b-a}, \]
ma d'altra parte \(\tilde y = \tilde f(\tilde x)\), quindi uguagliando trovo che
\[
\tilde f(\tilde x) = \frac{ \tilde f ((b-a)\tilde x +a) -a}{b-a},\]
che è l'espressione giusta.

Ho scritto veramente *tutti* i passaggi anche se sono banali, però su queste cose mi ci sono confuso moltissimo in passato, perché tutti dicono che è banale e nessuno spiega come si fa. Quando uno ha capito si accorge che era veramente banale, ma prima bisogna arrivare a capire!