Chiarimento su errori delle serie
ciao a tutti. sto facendo esercizi sulle serie. un esercizio che ho mi dice: calcolare il carattere della serie (e fin qui ci siamo) e per quelle convergenti calcolare quanti termini occorre sommare per avere una approssimazione della somma con un errore che non superi $10^(-3)$ ! cosa vuol dire? e come si fa in questo caso? ho cercato sul mio libro di analisi ma non c'è nessun esempio che mi faccia capire come si fa un calcolo del genere.
grazie mille in anticipo
grazie mille in anticipo
Risposte
Devi semplicemente maggiorare l'errore che commetti sostituendo alla serie la sua ridotta n-esima fino a riuscire a determinare n tale che esso sia inferiore di quanto richiesto.
scusa ma non ho capito! non riusciresti a farmi un esempio con una serie magari semplice? giusto per capire cosa fare a livello pratico!
@Superandri91: Ma proporre tu un esempio dai tuoi esercizi, no?
ok! 
sommatoria da 1 a 100 di $(-1)^n (5n)/(n^2 + 1)$
che converge per il criterio di leibnitz
sommatoria da 1 a 100 di $(-1)^n (5n)/(n^2 + 1)$
che converge per il criterio di leibnitz
Lo stesso criterio di Leibniz fornisce delle comode stime del resto.
Valle a rivedere.
Valle a rivedere.
si hai ragione ma da leibniz io so che |Sn - S|<=|an+1|... e quindi?
Il termine [tex]$|S_n-S|$[/tex] rappresenta l'errore d'approssimazione per [tex]$S$[/tex] che ottieni decidendo di troncare la serie al suo [tex]$n$[/tex]-esimo addendo.
Quindi, data la maggiorazione [tex]$|S_n-S|\leq |a_{n+1}|$[/tex], se vuoi che [tex]$|S_n-S|\leq 10^{-\text{qualcosa}}$[/tex] basta scegliere [tex]$n$[/tex] in modo che [tex]$|a_{n+1}|\leq 10^{-\text{qualcosa}}$[/tex].
Nel tuo caso [tex]$a_n=\tfrac{5n}{n^2+1}$[/tex], dunque...
[mod="gugo82"]Te l'ho già detto altrove: devi usare MathML o TeX per inserire le formule (cfr. regolamento, 3.6b).
È l'ultima volta che te lo ricordo.[/mod]
Quindi, data la maggiorazione [tex]$|S_n-S|\leq |a_{n+1}|$[/tex], se vuoi che [tex]$|S_n-S|\leq 10^{-\text{qualcosa}}$[/tex] basta scegliere [tex]$n$[/tex] in modo che [tex]$|a_{n+1}|\leq 10^{-\text{qualcosa}}$[/tex].
Nel tuo caso [tex]$a_n=\tfrac{5n}{n^2+1}$[/tex], dunque...
[mod="gugo82"]Te l'ho già detto altrove: devi usare MathML o TeX per inserire le formule (cfr. regolamento, 3.6b).
È l'ultima volta che te lo ricordo.[/mod]
grazie mille per la risposta gugo82! scusa se mi permetto ma mi sembra che ce l'hai su con me! bah! lasciamo perdere!
comunque per trovare n in questo caso basta fare $|(5n+5)/[(n+1)^2+1]|<10^(-3)$, giusto? grazie
e quando l'esercizio richiede una cosa del genere, è una serie a segni alterni che con la sua "legge" ti permette di trovarlo facilmente o si può anche in altri casi?
comunque per trovare n in questo caso basta fare $|(5n+5)/[(n+1)^2+1]|<10^(-3)$, giusto? grazie
e quando l'esercizio richiede una cosa del genere, è una serie a segni alterni che con la sua "legge" ti permette di trovarlo facilmente o si può anche in altri casi?
[mod="gugo82"]Adempio al dovere impostomi dal ruolo di moderatore, non ce l'ho con te.
Smettila con questo vittimismo da due soldi (com'è già capitato quando altri moderatori ti hanno richiamato all'ordine) e comincia a rispettare le regole del forum, se vuoi rimanere qui.
Altrimenti, arrivederci.[/mod]
Per quanto riguarda l'esercizio, giusto: devi risolvere una banale disequazione.
Per il caso generale, dare stime decenti per l'accuratezza di un'approssimazione non è sempre possibile; però ci sono strumenti che in alcuni casi aiutano (ad esempio, le espressioni del resto per la formula di Taylor)... Insomma, dipende un po' da quel che hai davanti di volta in volta.
Smettila con questo vittimismo da due soldi (com'è già capitato quando altri moderatori ti hanno richiamato all'ordine) e comincia a rispettare le regole del forum, se vuoi rimanere qui.
Altrimenti, arrivederci.[/mod]
Per quanto riguarda l'esercizio, giusto: devi risolvere una banale disequazione.
Per il caso generale, dare stime decenti per l'accuratezza di un'approssimazione non è sempre possibile; però ci sono strumenti che in alcuni casi aiutano (ad esempio, le espressioni del resto per la formula di Taylor)... Insomma, dipende un po' da quel che hai davanti di volta in volta.
a ok! comunque mi atterrò alle regole del forum e diventerò un utente modello!
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