Chiarimento su equazioni differenziali del secondo ordine
salve a tutti, ho difficoltà a capire lo svolgimento delle equa. differn. del secondo ordine non omogenee.
Ho capito che la soluzione generale sarà la somma della soluzione dell' equz. omogenea associata più la soluzione particolare.
Allora:
sulla soluzione omogenea associata non ho problemi.
sulla soluzione della particolare... parecchi. Guardando sul libro e internet non ho capito molto,non riesco crearmi uno schema mentale per trovare la soluzione particolare: so che dipende dal termine noto. in alcuni casi si crea un equazione simile con variabili del tipo Ax+B che poi svolgo,trovo e la sommo all'omogenea. poi ci sono i metodi di Lagrange(detto anche metodo delle variazione delle costanti o wronskiano) e metodo delle somiglianze. oppure sbaglio e il fatto di creare un equazione con le variabili del tipo Ax+B è uno di questi metodi?
aiutoooo
grazie in anticipo a chi mi chiarisce un po le idee
Ho capito che la soluzione generale sarà la somma della soluzione dell' equz. omogenea associata più la soluzione particolare.
Allora:
sulla soluzione omogenea associata non ho problemi.
sulla soluzione della particolare... parecchi. Guardando sul libro e internet non ho capito molto,non riesco crearmi uno schema mentale per trovare la soluzione particolare: so che dipende dal termine noto. in alcuni casi si crea un equazione simile con variabili del tipo Ax+B che poi svolgo,trovo e la sommo all'omogenea. poi ci sono i metodi di Lagrange(detto anche metodo delle variazione delle costanti o wronskiano) e metodo delle somiglianze. oppure sbaglio e il fatto di creare un equazione con le variabili del tipo Ax+B è uno di questi metodi?
aiutoooo
grazie in anticipo a chi mi chiarisce un po le idee
Risposte
Soluzione particolare simile al termine noto:
chiamo i termine noto b(x).
se $ b(x)=P(x)e^(mu x) $ dove P(x) un polinomio qualunque. in questo caso avremo che la soluzione particolare sarà data da
$ y_p=x^mQ(x)e^(mux) $ dove Q(x) è un polinomio con grado pari al grado di P(x) e dove m indica la molteplicità di $ lambda $ (soluzione dell'equazione omogenea). questa forma è valida se per convenzione assumi m=0 se $ mu $ non è soluzione dell'omogenea.
---------------------------------
ti faccio qualche esempio. consideriamo $ b(x)=x^3-x $ e
1. supponiamo che $ y_o=c_1+c_2e^(2x) $ come soluzioni dell'omogenea.
in questo caso $ mu=0 $ è soluzione con molteplicità 1 (si ha infatti che $ c_1e^(0x)=c_1 $ ). per cui la soluzione particolare sarà della forma: $ y_p=x^1(Ax^3+Bx^2+Cx+D)e^(0x) $ con m=1 $ mu=0 $ Q(x) di grado 3 come 3 era il grado di $ P(x)=x^3-x $ .
2. supponiamo ora che $ y_o=c_1e^(-x)+c_2e^(2x) $ . allora si ha che $ y_p=x^0(Ax^3+Bx^2+Cx+D)e^(0x) $ dove m=0 perchè $ mu=0 $ non è soluzione dell'omogenea.
----------------------------------
se invece $ b(x)=P(x)e^(alphax)[Acos(betax)+Bsin(betax)] $ la soluzione particolare ha la forma seguente: $ y_p=x^m Q(x)e^(alphax)[a_1cos(betax)+a_2sin(betax)] $ con le stesse convenzioni sulla molteplicità di $ alpha $ e con Q con lo stesso grado di P.
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Lascio a te gli esempi.
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sul metodo di variazione delle costanti non sono ferratissimo (non l'abbiamo fatto a lezione solo intravisto in un esercizio). comunque sia:
supponiamo che $ y_o= c_1u_1(x)+c_2u_2(x) $ sia l'equazione omogenea, u soluzione. la soluzione particolare allora è $ y_p= a_1u_1(x)+a_2u_2(x) $. per trovare i valori di $ a_1 $ e $ a_2 $ devi risolvere il sistema seguente (se vuoi vedere come ottenerlo cerca una dimostrazione su qualche sito
):
$ { ( a_1'(x)u_1(x)+a_2'(x)u_2(x)=0 ),( a_1'(x)u_1'(x)+a_2'(x)u_2'(x)=b(x) ):} $
trovate le derivate di $ a_1 $ e $ a_2 $ calcoli le loro primitive e trovi $ a_1 $ e $ a_2 $.
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Esempio
$ y''-y=(2-t^2)/(t^3) $ il sistema è: $ { ( a_1'e^t+a_2'e^(-t)=0 ),( a_1'e^t-a_2'e^(-t)=(2-t^2)/(t^3) ):} $
risolvi il sistema e trovi che $ a_1'=(2-t^2)/t^3e^(-t) $ e $ a_2'=(t^2-2)/t^3e^(t) $ . ora calcoli le loro primitive e sostituisci il risultato in $ y_p= a_1(t)e^t+c_2'(t)e^(-t) $ .
Spero possa esserti utile.
chiamo i termine noto b(x).
se $ b(x)=P(x)e^(mu x) $ dove P(x) un polinomio qualunque. in questo caso avremo che la soluzione particolare sarà data da
$ y_p=x^mQ(x)e^(mux) $ dove Q(x) è un polinomio con grado pari al grado di P(x) e dove m indica la molteplicità di $ lambda $ (soluzione dell'equazione omogenea). questa forma è valida se per convenzione assumi m=0 se $ mu $ non è soluzione dell'omogenea.
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ti faccio qualche esempio. consideriamo $ b(x)=x^3-x $ e
1. supponiamo che $ y_o=c_1+c_2e^(2x) $ come soluzioni dell'omogenea.
in questo caso $ mu=0 $ è soluzione con molteplicità 1 (si ha infatti che $ c_1e^(0x)=c_1 $ ). per cui la soluzione particolare sarà della forma: $ y_p=x^1(Ax^3+Bx^2+Cx+D)e^(0x) $ con m=1 $ mu=0 $ Q(x) di grado 3 come 3 era il grado di $ P(x)=x^3-x $ .
2. supponiamo ora che $ y_o=c_1e^(-x)+c_2e^(2x) $ . allora si ha che $ y_p=x^0(Ax^3+Bx^2+Cx+D)e^(0x) $ dove m=0 perchè $ mu=0 $ non è soluzione dell'omogenea.
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se invece $ b(x)=P(x)e^(alphax)[Acos(betax)+Bsin(betax)] $ la soluzione particolare ha la forma seguente: $ y_p=x^m Q(x)e^(alphax)[a_1cos(betax)+a_2sin(betax)] $ con le stesse convenzioni sulla molteplicità di $ alpha $ e con Q con lo stesso grado di P.
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Lascio a te gli esempi.
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sul metodo di variazione delle costanti non sono ferratissimo (non l'abbiamo fatto a lezione solo intravisto in un esercizio). comunque sia:
supponiamo che $ y_o= c_1u_1(x)+c_2u_2(x) $ sia l'equazione omogenea, u soluzione. la soluzione particolare allora è $ y_p= a_1u_1(x)+a_2u_2(x) $. per trovare i valori di $ a_1 $ e $ a_2 $ devi risolvere il sistema seguente (se vuoi vedere come ottenerlo cerca una dimostrazione su qualche sito
):$ { ( a_1'(x)u_1(x)+a_2'(x)u_2(x)=0 ),( a_1'(x)u_1'(x)+a_2'(x)u_2'(x)=b(x) ):} $
trovate le derivate di $ a_1 $ e $ a_2 $ calcoli le loro primitive e trovi $ a_1 $ e $ a_2 $.
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Esempio
$ y''-y=(2-t^2)/(t^3) $ il sistema è: $ { ( a_1'e^t+a_2'e^(-t)=0 ),( a_1'e^t-a_2'e^(-t)=(2-t^2)/(t^3) ):} $
risolvi il sistema e trovi che $ a_1'=(2-t^2)/t^3e^(-t) $ e $ a_2'=(t^2-2)/t^3e^(t) $ . ora calcoli le loro primitive e sostituisci il risultato in $ y_p= a_1(t)e^t+c_2'(t)e^(-t) $ .
Spero possa esserti utile.
grazie per gli esempi... quindi la prima parte è il metodo delle somiglianze?
si somiglianza col termine noto b.
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