Chiarimento su equaz. differenziale del Pendolo Composto?
Avendo quest'equaz. differenziale:
[tex]$I$[/tex] = Momento d'inerzia
[tex]$\theta^{\prime \prime}$[/tex]= Derivata seconda dell'angolo theta
[tex]$\theta$[/tex] = Angolo theta
[tex]$I \theta^{\prime \prime} - mgh \theta = 0$[/tex]
A me sembra una equaz lineare omogenea a coefficienti costanti con [tex]$\Delta > 0$[/tex],
quindi la soluzione dovrebbe essere della forma [tex]$\theta = C_1e^{Ax}+ C_2e^{-Ax}$[/tex]
come mai invece viene
[tex]$\theta= A \cos (\omega t + \phi)$[/tex]
Inoltre, perchè pongo [tex]$\omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}[/tex] ?
[tex]$\omega$[/tex] non dovrebbe essere la derivata di [tex]$\theta$[/tex] in [tex]$\text{d}t$[/tex]?
[tex]$I$[/tex] = Momento d'inerzia
[tex]$\theta^{\prime \prime}$[/tex]= Derivata seconda dell'angolo theta
[tex]$\theta$[/tex] = Angolo theta
[tex]$I \theta^{\prime \prime} - mgh \theta = 0$[/tex]
A me sembra una equaz lineare omogenea a coefficienti costanti con [tex]$\Delta > 0$[/tex],
quindi la soluzione dovrebbe essere della forma [tex]$\theta = C_1e^{Ax}+ C_2e^{-Ax}$[/tex]
come mai invece viene
[tex]$\theta= A \cos (\omega t + \phi)$[/tex]
Inoltre, perchè pongo [tex]$\omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}[/tex] ?
[tex]$\omega$[/tex] non dovrebbe essere la derivata di [tex]$\theta$[/tex] in [tex]$\text{d}t$[/tex]?
Risposte
Dovresti scrivere per bene usando il metodo per scrivere le formule (clicca). Comunque, sei sicuro non ci sia un $+$ piuttosto che un $-$?
Ok, ho riscritto le formule
[mod="gugo82"]Ed io le ho messe definitivamente a posto.
[/mod]
[mod="gugo82"]Ed io le ho messe definitivamente a posto.
[/mod]
L'equazione del pendolo è [tex]$I\ddot{\theta}+mgh\theta=0$[/tex], con $h>0$. Ripeto, sei sicuro di quello che hai scritto?
Si, scusa con il +. Rimane comunque una equaz lineare omogenea a coefficienti costanti con ∆ > 0
Eh no, bello mio! Il polinomio caratteristico dell'equazione che ho scritto io è
[tex]$ I\lambda^2+mgh=0\ \Rightarrow\ \lambda=\pm i\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex]
per cui le soluzioni dell'omogenea risultano
[tex]$\theta(t)=A\cos\left(\sqrt{\frac{mgh}{I}}\ t\right)+B\sin\left(\sqrt{\frac{mgh}{I}}\ t\right)$[/tex].
Quali sono le condizioni iniziali (che ti permettono di determinare i valori delle costanti arbitrarie $A,\ B$)?
Il polinomio caratteristico dell'equazione che ho scritto io è[tex]$ I\lambda^2+mgh=0\ \Rightarrow\ \lambda=\pm i\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex]
per cui le soluzioni dell'omogenea risultano
[tex]$\theta(t)=A\cos\left(\sqrt{\frac{mgh}{I}}\ t\right)+B\sin\left(\sqrt{\frac{mgh}{I}}\ t\right)$[/tex].
Quali sono le condizioni iniziali (che ti permettono di determinare i valori delle costanti arbitrarie $A,\ B$)?
Non lo sò, è l'equazione del pendolo composto. Come mai la A = 0 e rimane solo la parte del sin(...) ?
Fai attenzione: la soluzione, come l'ho scritta io, è della forma
[tex]$\theta(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$[/tex] dove [tex]$\omega_0=\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex]
Per ottenere la soluzione che proponi tu, dovrai fare in modo di determinare la fase [tex]$\phi$[/tex].
Quello che ti viene detto è che [tex]$\omega(t)=\omega_0\cos(\omega_0 t+\phi)$[/tex] è il valore della velocità angolare, per cui [tex]$\theta(t)=\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex] è la forma generale della soluzione.
[tex]$\theta(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$[/tex] dove [tex]$\omega_0=\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex]
Per ottenere la soluzione che proponi tu, dovrai fare in modo di determinare la fase [tex]$\phi$[/tex].
Quello che ti viene detto è che [tex]$\omega(t)=\omega_0\cos(\omega_0 t+\phi)$[/tex] è il valore della velocità angolare, per cui [tex]$\theta(t)=\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex] è la forma generale della soluzione.
Ok, chiaro.
Non capisco quelle due ampiezze del moto (A e B) cosa vanno a specificare nella fisica?
O meglio, perché A = 0?
(A indica forse l'ampiezza del moto lungo l'asse delle y? Se si, allora ho capito)
Non capisco quelle due ampiezze del moto (A e B) cosa vanno a specificare nella fisica?
O meglio, perché A = 0?
(A indica forse l'ampiezza del moto lungo l'asse delle y? Se si, allora ho capito)
Mettila così: la funzione [tex]$\theta(t)=C\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex] è soluzione della tua equazione una volta imposto [tex]$\omega_0=\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex], con $C$ che indica l'ampiezza massima dell'oscillazione. Ora, applichiamo a questa funzione la formula di addizione del seno: abbiamo
[tex]$\theta(t)=C\left[\sin(\omega_0 t)\cos\phi+\cos(\omega_0 t)\sin\phi\right]$[/tex]
da cui, ponendo [tex]$A=C\sin\phi,\ B=C\cos\phi$[/tex] ottieni l'equazione nella forma "canonica" per le equazioni differenziali lineari. Puoi interpretare quei due coefficienti come una sorta di "ampiezze" relative alla fase imposta all'oscillazione, nel senso che l'ampiezza massima della stessa si ottiene come [tex]$C=\sqrt{A^2+B^2}$[/tex].
[tex]$\theta(t)=C\left[\sin(\omega_0 t)\cos\phi+\cos(\omega_0 t)\sin\phi\right]$[/tex]
da cui, ponendo [tex]$A=C\sin\phi,\ B=C\cos\phi$[/tex] ottieni l'equazione nella forma "canonica" per le equazioni differenziali lineari. Puoi interpretare quei due coefficienti come una sorta di "ampiezze" relative alla fase imposta all'oscillazione, nel senso che l'ampiezza massima della stessa si ottiene come [tex]$C=\sqrt{A^2+B^2}$[/tex].
Ok, questo procedimento lo posso giustificare solo se ho già la soluzione dell'equazione.
Da questa:
[tex]$\theta(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$[/tex] dove [tex]$\omega_0=\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex]
come ottengo quest'altra
[tex]$\theta(t)=\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex] ?
Da questa:
[tex]$\theta(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$[/tex] dove [tex]$\omega_0=\sqrt{\frac{mgh}{I}}$[/tex]
come ottengo quest'altra
[tex]$\theta(t)=\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex] ?
Non otterrai [tex]$\theta(t)=\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex], ma [tex]$\theta(t)=C\sin(\omega_0 t+\phi)$[/tex]. Basta scegliere [tex]$A,\ B$[/tex] come prima (in modo, cioè, che venga fuori la formula di addizione del seno).
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